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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3246
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Dezember, 2003 - 08:41: | 
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Hi allerseits
Gegeben ist die Kugel k:
x^2 + y^2 + z^2 – 4 x + 6 y + 4 z – 8 = 0
Eine zweite Kugel k* schneidet k senkrecht.
Der Schnittkreis c der beiden Kugeln liegt in der Ebene
mit der Gleichung 3 x – 12 y - 4 z - 25 = 0.
Ermittle eine Gleichung von k*.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3251
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 09:45: |
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Hi allerseits
Hinweis zur Lösung der Aufgabe LF 147:
Man stelle die Gleichung des durch die gegebene Kugel und die
gegebene Ebene bestimmten Kugelbüschels auf.
Ansatz: F1 + t * F2 = 0
t ist Parameter, F1 ist die linke Seite der auf null gebrachten
Kugelgleichung, F2 die linke Seite der auf null gebrachten
Ebenengleichung.
Sodann benütze man die in der Aufgabe LF 146 aufgestellte
Orthogonalitätsbedingung.
2 a A + 2 b B + 2 c C = d + D.
a,b,c,d sind die Koeffizienten der gegebenen Kugelgleichung,
die in der Gestalt
x^2 + y^2 + z^2 + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0 angeschrieben wird.
A,B,C,D sind die entsprechenden Koeffizienten in der Gleichung
der gesuchten Kugel, die man der Büschelgleichung entnimmt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 738
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 10:22: |
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Megamath,
Zwei Kugeln k(M,r) und k*(M*,r*) mit |MM*| = d schneiden sich genau dann orthogonal, wenn
d2 = r2 + r*2.
Für unser Zahlenbeispiel gilt
M = (2,-3,-2) , r = 5.
Mittels der Hesse-Normalform der gegebenen Ebene
E :
E : (3x - 12y - 44 -24)/13 = 0
finden wir
p := dist(M,E) = 25/13.
Für q := d-p ergibt sich (Kathetensatz):
q = 144/13
und somit d = p+q = 13 => r* = 12.
Schliesslich gilt Vektor(MM*) = l(3,-12,-4)
=> l = ±1. Da M und M* bzgl. E in
verschiedenen Halbräumen liegen, muss l = - 1
sein, also
M* = (-1,9,2)
Ergebnis :
k* : x2 + y2 + z2 +2x - 18y - 4z -58 = 0.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3253
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 10:30: |
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Hi Orion
Deine Lösungsmethode erscheint sehr spontan und führt schnell zur (richtigen !) Lösung.
Besten Dank.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3254
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 10:58: |
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Hi allerseits,
Der Vollständigkeit halber zeige ich noch die Lösung, die mit der
erwähnten Methode mit dem Kugelbüschel (KB)
gefunden werden kann.
Gleichung des KB:
x^2+y^2+z^2–4 x+6 y+4 z–8 + t (3 x – 12 y - 4 z -25) = 0 ,
geordnet:
x^2+y^2+z^2 + (3t-4) x + (-12t + 6) y + (-4t +4) z - 8 - 25 t = 0
mit den Koeffizienten
A = 3 t/2 – 2 ; B = - 6 t + 3 ; C = - 2 t + 2 ; D = - 8 – 25 t.
Die gegebene Kugel liefert die Koeffizienten
a = - 2 ; b = 3 ; c = 2 ; d = - 8
Die Orthogonalitätsbedingung
2 a A + 2 b B + 2 c C = d + D
ergibt eine lineare Gleichung für t mit der Lösung t = 2;
damit entsteht als Gleichung der gesuchten Kugel:
x2 + y2 + z2 +2x - 18y - 4z -58 = 0
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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