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Lockere Folge 146 : Orthogonaler Schn...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3243
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 26. Dezember, 2003 - 20:47:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 146:
Gegeben sind zwei Kugeln:
k1: x^2 + y^2 + z^2 + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0
k2: x^2 + y^2 + z^2 + 2 A x + 2 B y + 2 C z + D = 0

Welche Relation müssen die 8 Koeffizienten erfüllen,
damit die Kugeln sich orthogonal schneiden?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 602
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 26. Dezember, 2003 - 21:06:   Beitrag drucken

Hi megamath,

Was heißt orthogonal schneiden bei Kugeln?

k1: (x+a)^2 + (y+b)^2 + (z+d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - d = r^2

k2: (x+A)^2 + (y+B)^2 + (z+D)^2 = A^2 + B^2 + C^2 - D = R^2

k1: m(-a|-b|-c)
k2: M(-A|-B|-C)

Abstand der Mittelpunkte <= Summe der beiden Radien?

sqrt((a-A)^2 + (b-B)^2 + (c-C)^2) <= r + R
(a-A)^2 + (b-B)^2 + (c-C)^2 <= r^2 + R^2 + 2rR

a^2 + A^2 + b^2 + B^2 + c^2 + C^2
- 2aA - 2bB - 2cC <= a^2 + b^2 + c^2 - d + A^2 + B^2 + C^2 - D + 2rR

d + D - 2aA - 2bB - 2cC <= 2rR
und
a^2 + b^2 + c^2 >= d
und
A^2 + B^2 + C^2 >= D

Wars so gemeint?

Gruß,
Walter

Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3244
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 26. Dezember, 2003 - 21:14:   Beitrag drucken

Hi Walter

Deine Frage ist berechtigt!
Antwort:
in jdem Punkt des Schnittkreises stehen die Tangentialebenen der beiden Kugeln aufeinander senkrecht
Dies läuft darauf hinaus,dass das Quadrat des
Abstandes der Mittelpunkte mit der Quadratsumme der Radien übereinstimmt.
Morgen mehr darüber !

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3245
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Dezember, 2003 - 08:29:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Wie gesagt: das Quadrat des Abstandes der Mittelpunkte muss
mit der Quadratsumme der Radien übereinstimmen.
Mit den gegeben Daten kommt:
(a-A)^2+(b-B)^2+(c-C)^2
=(a^2+b^2+c^2-d)+(A^2+B^2+C^2-D)
vereinfacht:
2 a A + 2 b B + 2 c C = d + D
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Dies ist die gesuchte Relation, die schon in der folgenden Aufgabe
LF 147 benötigt wird.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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