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Bennax (Bennax)
Neues Mitglied
Benutzername: Bennax
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 18:56: | 
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Hallo, kann mir irgendjemand erklären, was genau eigentlich eine Mannigfaltigkeit ist? Vielleicht einigermassen anschaulich und mit möglichst viel Worten? |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 417
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 19:59: |
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Au ja! Darauf bin ich auch mal gespannt. Das habe ich vor 40 Jahren auch nicht verstanden...
Das meine ich übrigens ernst. Aber im richtigen Leben habe ich's eigentlich niemals gebraucht...
Also, Leute, schwingt die Tasten 
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Filipiak (Filipiak)
Senior Mitglied
Benutzername: Filipiak
Nummer des Beitrags: 546
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Dezember, 2003 - 14:26: |
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http://www.net-lexikon.de/Mannigfaltigkeit.html
Gruß Filipiak
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Brainchild (Brainchild)
Neues Mitglied
Benutzername: Brainchild
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Dezember, 2003 - 15:28: |
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Hallo, ich versuch es mal:
Aber zuerst ein paar Bezeichnungen vorweg:
p, N und n seien natürliche Zahlen, N<=n
R = reelle Zahlen, entsprechend R^n ...
C^p bezeichnet die Klasse der p-mal stetig diff'baren Fkt.
M wird die Untermannigfaltigkeit werden,
wobei: (!) M <= R^N (!) (hier:"<=" Teilraum von)
Zunächst gebe ich jetzt eine mögliche Definition (formal),
dann hoffentlich ein vernünftiges Bild dazu
und dann hoffentlich eine verständliche Erklärung.
1. Def:
Sei M<=R^N.
Es sind äquivalent:
a.) M ist eine n-dimensionale C^p - Untermannigfaltigkeit des R^N
b.) für alle Punkte a€M existieren offene Umgebungen A in M,
es existieren offene Teilmengen V von R^n und eine Abb. f:V->A.
f erfüllt hierbei folgende Eigenschaften:
-> f ist Homöomorphismus
-> f ist von der Klasse C^p
-> Rang(Df)=dim(V)=n
(f heißt eine KARTE von M)
Die Definition sieht schlimmer aus als sie eigentlich ist.
2.) Bildchen:
(geht nicht mit dem einfügen,versucht es mal mitzuzeichnen)
1.Schritt:
M <= R^3 (N=3) sei z.B. ein Torus oder eine Kugel,
a ein Punkt auf M,
A eine Umgebung von a, die ganz in M liegt.
2. Schritt:
V<=R^2 (n=2) sei Quadrat ( offen !!!),
x ein Punkt in V.
3.Schritt:
V und M bzw. A sind momentan noch vollkommen unabhängig voneinander.
Jetzt kommt die Abb f, die V auf A (z.B. x auf a ) abbildet.
f muß stetig, bijektiv, p-mal stetig diff’bar sein, die Umkehrabb. muß stetig sein und dann muß die Ableitungsmatrix von f auch noch höchstmöglichen Rang haben.
Wenn f all das erfüllt ist M eine
... Untermannigfaltigkeit
3.) Erklärungen:
Wenn n = N-1 ist, wie in der Zeichnung oben, sind die n-dim. Untermannigfaltigkeiten
Hyperflächen.
Für n<N-1, sind die n-dim. Untermannigfaltigkeiten nicht wirklich, anschaulich gesprochen, etwas anderes als „Hyper-Hyper-...-Hyperflächen“, d.h.:
N n Untermannigfaltigkeit
2 1 Linien
3 2 Flächen
4 3 Körper (3-D)
. . .
. . .
. . .
>2 1 Kurven *)
usw. .........
-----------------------------------------------
*)ohne Spitzen und Selbstdurchdringungen, müssen als Bilder kompakter, zusammenhängender Mengen
nicht kompakt oder zusammenhängend sein
-----------------------------------------------
Ich finde die Def der Untermannigf. über Karten ist noch die anschaulichste, auch in Hinsicht auf Orientierbarkeit, denn:
Es wird demnach das als ... Untermannigfaltigkeit bezeichnet, von dem man eine Karte bzw. mehrere Karten erstellen kann, die in ihrer Gesamtheit die komplette Mannigfaltigkeit eindeutig darstellen bzw. überdecken, wie z.B. bei der Erde oder dem Mars, von denn Karten bzw. Atlanten existieren.
Die Vorraussetzung der Homöomorphie ist meiner Meinung nach die Wichtigste, da sonst die Eindeutigkeit nicht sichergestellt wäre.(man stelle sich mal vor Düsseldorf und Köln würden auf einer Karte nicht zu unterscheiden sein ... )
Ich hoffe es war einigermaßen verständlich.
Frohe Weihnachten.
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 419
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Dezember, 2003 - 21:40: |
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Vielen Dank für die anschaulichen Erklärungen. Wie gesagt - meine Erfahrungen mit differenzierbaren Mannigfaltigkeiten sind schon eine kleine Ewigkeit her, aber ich kann mich noch genau erinnern, dass sie mir ein Gräuel (damals noch Greuel) waren
Ich denke, mit Euren Erklärungen wäre mir alles viel leichter gefallen.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Bennax (Bennax)
Neues Mitglied
Benutzername: Bennax
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Dezember, 2003 - 00:09: |
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Also es hat mir wirklich durchaus geholfen, aber zwei Fragen hätte ich da noch. Sind 2dimensionale Untermannigfaltigkeiten denn wirklich ALLE Flächen vom R^3? Oder anders gefragt, gibt es eine Fläche, die KEINE 2-dim Mannigfaltigkeit des R^3 ist?
Zweite Frage: Was genau hat der Grad des Diffeomorphismus zu sagen? Macht der je höher er ist zB die Mannigfaltigkeit "glatter"?? Gibt es da anschauliche Erklärungen?
Wäre echt nett, wenn sich dem nochmal jemand annimmt. |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 227
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Dezember, 2003 - 22:06: |
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Hi,
ich kann mich nur noch dunkel an das Kapitel erinnern, aber deine erste Frage kann man nur beantworten, wenn du genau sagst, was du unter einer Fläche verstanden haben willst.
Den Grad kann man in der Tat als ein Maß für eine Art Glattheit sehen, da er angibt, bis zu welcher Ableitung man Knicke ausschließen kann. |
Bennax (Bennax)
Junior Mitglied
Benutzername: Bennax
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 15:00: |
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ok, also zunäüchst mal denke ich, als fläche würde ich eine menge verstehen, die wegzusammenhängend ist und kein Inneres hat, also quasi einen Rand.
Das mit der Glattheit verstehe ich nur nicht so ganz, warum ist denn die anschauliche Menge mit "Knicken" des Diffeomorphismus vergleichbar? Ist es wirklich so, daß ich nicht zwischen einer Menge, die einen sagen wir mal bis zum Grad p diffbaren Knick hat eine Abbildung in die andere Menge finden kann, die öfter als p mal diffbar ist? Wenn ja, verstehe ich nicht so ganz, warum? Oder liegt das daran, dass die Abbildung ja linear sein muss?? |
Bennax (Bennax)
Junior Mitglied
Benutzername: Bennax
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 15:05: |
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hmmm, ich frage mich, ob mein Problem klar geworden ist. Also ich meine warum der Grad des Diffeomorphismus mit der Beschaffenheit der Mannigfaltigkeit zusammenhängt, denn er ist ja nur eine Abbildung, die ich auf eine Menge loslasse? Hmmm, mir fällt es schwer, zu beschreiben, was ich meine, aber vielleicht ist es ja trotzdem rübergekommen? |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 235
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 00:03: |
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Hi,
ich glaube, der zentrale Punkt ist, dass die Abbildung im R^n startet, also sozusagen in einer "idealen" n-Mannigfaltigkeit, und der Grad sagt aus, wie gut sich diese Fläche in einen R^N "hineinbiegen" lässt - ist echt schwer in Worte zu fassen. Probier doch einfach mal, eine Karte zu den Graphen der Standardparabel und der Betragsfunktion anzugeben. Bei der Betragsfunktion solltest du Probleme kriegen, mehr als eine C^0-Karte zustande zu bekommen, wenn die (0,0) überdeckt wird.
Was mir etwas unklar ist, woher du die Linearität nimmst.
Bei Brainchild liest es sich so, als ob Kurven, die sich selbst schneiden, keine ordentlichen Mannifaltigkeiten wären, trotz Wegzusammenhang und keinem Inneren. |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 236
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 10:13: |
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Ganz instruktiv ist vielleicht auch, sich zu überlegen was passiert, wenn man z.B. einen Kreis im R^2 aufschneidet:
Nimm einen Kreis mit Radius 1 um (1,1). Der ist sicher C^oo. Wenn du ihn in (2,1) aufschneidest und die obere Hälfte um (0,1) drehst, ist er nur noch C^0, und wenn er ganz aufgeklappt ist, hast du eine Spitze in (0,1) und dann ist er laut brainchild nix mehr. |
Bennax (Bennax)
Junior Mitglied
Benutzername: Bennax
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 22:10: |
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was meinst du mit "wenn er ganz aufgeklappt ist". Um 180° gedreht? So ganz verstehe ich nicht, warum er noch was ist, wenn man ihn um 179° dreht aber bei 180° nicht mehr.
Woher ich die Linearität nehme frage ich mich auch. :-))
Du hast natürlich Recht, dass sich die Flächen oder Kurven nicht selbst durchdringen dürfen, das hatte ich wohl vergessen, aber alles was dann noch übrigbleibt ist eine Mannigfaltigkeit? Und insbesondere alle Mannigfaltigkeiten haben auch diese drei Eigenschaften???
Noch eine letzte Frage: Was ist Brainchild? |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 243
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 19:57: |
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Na ja, bei 179° hat er in (0,1) halt noch einen Knick und bei 180° wirds eben eine Spitze, so "Unstetigkeiten" gits in der Mathematik ja häufiger.
Obs sonst noch irgendwelche Abartigkeiten gibt weiss ich nicht definitiv, zutrauen würd ichs dem R^N. |
Bennax (Bennax)
Junior Mitglied
Benutzername: Bennax
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 23:42: |
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aber ein knick ist doch nicht "diffbarer" als eine spitze??? versteh ich nicht.
sobald ich den kreis nach dem aufschneiden auch nur um ein millionstel grad drehe ist das doch schon ein nicht-diffbarer knick?!!
(Beitrag nachträglich am 07., Januar. 2004 von bennax editiert) |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 244
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 22:25: |
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Stimmt genau, deshalb auch nur C^0, d.h. nicht diffbar wegen der einen Stelle mit dem Knick. Ein bisschen "diffbarer" als eine Spitze ist ein Knick aber schon, weil die Unstetigkeit der Ableitung da nur ein endlicher Sprung ist. |
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