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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3220
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Dezember, 2003 - 12:09: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 141 ist ein Analogon zur Aufgabe LF 140.
Es ist eine zur z-Achse parallele Zylinderfläche zu bestimmen,
welche eine gegeben Fläche F berührt.
Die Aufgabe lautet:
Die Gleichung 2 x^2 + 2 y^2 + 2 z^2 + 2 x y +2 y z + 2 x z – 1 = 0
stellt ein Ellipsoid dar.
Man ermittle die Gleichung des (scheinbaren) Umrisses des Ellipsoids
im Grundriss, d.h. in der (x,y)-Ebene bei Orthogonalprojektion auf diese.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3221
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Dezember, 2003 - 12:24: |
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Hi allerseits
Bemerkung zur Aufgabe LF 141
Die (x,y)-Ebene werde als Grundrissebene PI aufgefasst, auf welche
orthogonal projiziert wird.
Die Berührungspunkte derjenigen Tangenten des Ellipsoids,
welche auf der Grundrissebene senkrecht stehen, also projizierend sind,
liegen auf einer Kurve c des Ellipsoids, dessen Ebene zu PI parallel ist.
Diese Kurve c bildet den so genannten wahren Umriss des Ellipsoids
bezüglich der Ebene PI.
Die senkrechte Projektion c´ von c auf PI ist der so genannte
scheinbare Umriss des Ellipsoids auf PI.
Gesucht wird eine Koordinatengleichung von c´
und der Typus dieser Kurve.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3222
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Dezember, 2003 - 10:28: |
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Hi
Bevor die Zeit davonläuft:
Ein Lösungshinweis kann nicht schaden.
Um den Umriss der Fläche in der (x,y)-Ebene zu finden,
setze man die dritte Koordinate des Gradienten von F(x,y,z),
d.h. die partielle Ableitung von F nach z, null.
Dabei ist
F(x,y,z) =2 x^2 + 2 y^2 + 2 z^2 + 2 x y +2 y z + 2 x z – 1
Sodann eliminiere man z aus der so entstandenen Gleichung und der
Flächengleichung F = 0.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1003
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Dezember, 2003 - 11:19: |
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Hi megamath,
melde mich nach längere Zeit von einem schwierigem Auftrag zurück!
Es scheint nicht viel los zu sein im Zahlreich Forum, aber deine Aufgabe ist mal wieder ein Schmanckerl! Sie ist sehr anspruchsvoll!
Ich erhalte:
Für die Partielle Ableitung nach z habe ich:
z = -0,5 * ( x + y )
Setze ich das in F(x,y,z) ein so erhlate ich:
F(x,y) = 3x^2 + 3y^2 + 2xy - 2
Was eine Ellipse darstellt, im gerehten Koordiantensystem: 2X^2 + Y^2 = 1 !
Wie ist nun fortzufahren?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3223
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Dezember, 2003 - 11:56: |
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Hi Ferdi
Das war höchste Zeit,dass Jemand sich um diese
Aufgabe kümmert. Besten Dank für Deine Mühe.
Andere haben sich offenbar von M bereits dispensiert
und Feierabend gemacht.
Die Aufgabe LF 104 ist damit erledigt, und
man könnte auf LF 140 zurückgreifen im Sinne
einer Rekursion.
Jene Aufgabe gibt etwas mehr zu tun,
da am Schluss eine Faktorzerlegung
zu machen ist.
Ich gebe noch Hinweise.
MfG
H.R.Moser,megamath
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