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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3218
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 15:59: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 140 greife ich auf die
bewährten Themen der elementaren Differentialgeometrie zurück.
Die neue Aufgabe lässt mannigfache Lösungsmethoden zu,
dies weckt Hoffnungen!
Die Aufgabe lautet
Die Gleichung 5 x^2 + 8 y^2 + 5 z^2 – 4 x y – 4 y z – 8 x z – 324 = 0
stellt eine Rotationszylinderfläche dar.
Man ermittle die Gleichungen der Umrissmantellinien des Zylinders
im Grundriss, d.h. in der (x,y)-Ebene bei Orthogonalprojektion auf diese.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3219
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Dezember, 2003 - 07:51: |
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Hi allerseits
Es könnte nützlich sein, wenn ich eine Bemerkung zum Begriff
des Umrisses einer Fläche bezüglich einer Koordinatenebene anbringe.
Die Fläche sei beispielsweise eine Kugel, die Koordinatenebene die
(x,y)-Ebene (Grundrissebene PI).
Die Berührungspunkte derjenigen Kugeltangenten, welche auf der
Grundrissebene senkrecht stehen, also projizierend sind,
liegen auf einem Grosskreis c der Kugel, dessen Ebene zu PI parallel ist.
Diese Kurve c bildet den so genannten wahren Umriss der Kugel
bezüglich der Ebene PI.
Die senkrechte Projektion c´ von c auf PI ist der so genannte
scheinbare Umriss der Kugel auf PI.
c’ ist die Schnittgerade eines der Kugel umgeschriebenen Zylinders,
dessen Mantellinien senkrecht zu PI verlaufen.
Ist die gegebene Fläche eine Drehzylinderfläche wie in Aufgabe LF 140,
so erzeugen die beiden zu PI senkrechten Tangentialebenen des Zylinders
den scheinbaren Umriss c´ in PI; es sind die Schnittgeraden dieser
Ebenen mit PI.
c´ ist in diesem Fall ein Parallelgeradenpaar im Abstand 2 r mit r als
Zylinderradius; justement c´ soll in der Aufgabe LF 140 gesucht werden.
Analoges gilt für Kreiskegel und andere Flächen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3224
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Dezember, 2003 - 12:08: |
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Hi allerseits
Bevor die Zeit davonläuft:
Ein Lösungshinweis kann nicht schaden.
Um den Umriss der Fläche in der (x,y)-Ebene zu finden,
setze man die dritte Koordinate des Gradienten von F(x,y,z),
d.h. die partielle Ableitung von F nach z, null.
Dabei ist
F(x,y,z) = 5 x^2 + 8 y^2 + 5 z^2 – 4 x y – 4 y z – 8 x z – 324
Sodann eliminiere man z aus der so entstandenen Gleichung und der
Flächengleichung F = 0.
Es entsteht eine Gleichung zweiten Grades in x , y ,die sich
(eine nützliche Übung) in Linearfaktoren zerlegen lässt.
Als Resultat erscheint die Gleichung eines Parallelgeradenpaares.
Man könnte die Aufgabe auch dadurch lösen, dass man die
Zylinderachse a und deren Orthogonalprojektion a´ in die
(x,y) – Ebene, sowie den Zylinderradius r ermittelt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1004
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Dezember, 2003 - 15:43: |
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Hi,
Grad(F(z)) = 5z - 2y - 4x
Dies einsetzen für z liefert:
x^2 - 4xy +4y^2 -180 = 0
Oder ( x - 2y )^2 = 180
Also:
y = 0,5x + 3*sqrt(5)
und
y = 0,5x - 3*sqrt(5)
Sie haben den Abstand 6 gleich dem Radius des Zylinders und die Steigung ist gleich der Steigung der "Ortho"geraden der Achse in der x,y -Ebene! Achse : X = t * {2,1,2} , r = 6 , X' = t * {2,1,0}...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3227
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Dezember, 2003 - 16:06: |
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Hi Ferdi,
Gratulation !
Ich habe dasselbe Resultat mit beiden Methoden
erhalten !
Ich werde die Methode mit der Faktorzerlegung
bei Gelegenheit vorführen.
MfG
H.R.Mose,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3230
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 12:16: |
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Hi allerseits
Leitet man F(x,y,z) = 5 x^2 + 8 y^2 + 5 z^2 – 4 x y – 4 y z – 8 x z – 324
partiell nach z ab und setzt diese Ableitung null, so kommt die Beziehung
z = 4/5 x + 2/5 y .
Diese setzt man in die Gleichung des Zylinders ein; damit ist z eliminiert.
Resultat dieser Manipulation:
9/5 x ^2 + 36/5 y^2 – 36/5 x y – 324 = 0
Die linke Seite lässt sich in Linearfaktoren zerlegen:
9/5 [{x – 2 y - 6 sqrt(5) } {x – 2 y - 6 sqrt(5)}] = 0
Setzt man die Inhalte der geschweiften Klammern je null, so erscheinen die
gewünschten Geradengleichungen, wie zuvor:
y = 0,5x + 3*sqrt(5)
y = 0,5x – 3*sqrt(5)
MfG
H.R.Moser,megamath
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