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Since (Since)
Junior Mitglied
Benutzername: Since
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Dezember, 2003 - 20:17: | 
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Hallo zusammen ,
also alt bewehrtes Problem wie mit einen nicht all zu schweren Vollst. Induktion
würde mich freuen wenn mir jemand ein bisschen helfen kann …. Danke im Voraus!
Positive Zahlenfolge !
a1 := 7 a n+1 := 4 a n+1+3 / a n+1 := 4 – 5 /a n +2 n e N !
ich muss dazu sagen das ich bei dem 2 schritt der Voll. In. Keine weiter Lösung habe finden können.
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 397
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Dezember, 2003 - 22:34: |
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Hi Since!
Leider habe ich deine Folgengleichung nicht entziffern können.
a1:=7
an+1:=4an+1+3/an+1?
Und das ist wiederum 4-5/an+2?
Bitte sieh dir doch mal die Formatierungen unter dem Menüpunkt "Formatieren" links an und schreib deine Zeile neu. Einen Index 1 erhält man z.B. durch \-{1}
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Since (Since)
Junior Mitglied
Benutzername: Since
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 08:23: |
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Positive Zahlenfolge !
a1 := 7 an+1 := (4an +3/an +2) := 4–(5/an +2) n e N !
Ich muss mich erst mal entschuldigen denn ich habe leider kein Programm mit dem ich es besser auf schreiben könnte! Hoffe das es jetzt besser oder übersichtlicher geschrieben habe!so sollte es aber nun deutlich sein =) .... |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 949
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 13:48: |
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Hi!
Mir ging es ähnlich wie Jair. Ich verstehe weder die Aufgabenstellung, noch die Angaben.
Kannst du bitte mehr dazu schreiben? Was sollst du tun und was ist wie definiert?
Die Schreibweise a := f(x) := g(x) ist nicht üblich. Also was willst du mit dieser Definitionskette ausdrücken?
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Since (Since)
Junior Mitglied
Benutzername: Since
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 18:20: |
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Nun es geht um eine Vollständige Induktion bei dir ich a1 := 7 vorgegeben habe wie schon oden geschrieben soll es eine positive Zahlenfolge sein um die es geht in dem falle
an+1 := (4an +3/an +2):= 4– 5/an +2 n e N !
ich wüßte jetzt leider nicht wie ich es noch anders schreiben sollte. wenn ihr keine anhung haben solltet was das steht dann habe ich halt pesch , aber trotzdem danke für die mühe.
MfG Since
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1875
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 19:22: |
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kannst Du keinen Scan der Originalaufgabenstellung
machen?
(dann
\image{irgeneinText}
posten.
Du wird beim Abschicken dann aufgefordert,
den Dateinamen anzugeben.
)
Oder ist es eine PDF Datei? - Dann
\attach{irgeneinText}
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 755
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 22:59: |
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Also wenn ich Dich richtig verstehe, dann sollst Du zeigen, daß die Folge, die durch die Rekursion
a1=7 ; an+1:= 4 - 5/(an+2) gegeben ist, nur positive Glieder enthält.
a1=7>0
Angenommen wir haben ein n gefunden für das an>0, dann gilt auch
an+1 = 4-5/(an+2) > 4-5/2 = 3/2 > 0
Kommt mir etwas sehr einfach vor für Uni-Niveau. Sollt Ihr nicht vielleicht noch beweisen, daß die Folge konvergiert oder etwas ähnliches? |
Since (Since)
Junior Mitglied
Benutzername: Since
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 06:28: |
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Ja , du hast recht das wäre dann der 2 aufgabenteil (mit dem Konvergent) den ich nachweisen sollte,kannst du mir vieleicht in voller auflösung das ergebniss genauer schildern wenn das keine umstände macht? denn ich versuche mich erst ein mal in die sachen ein zu arbeiten habe schon etwas schwirigkeiten und muss noch eine ganze mege an sachen nachholen um überhaupt die sachen zu verstehen! =(
frage an dich Ingo ? wieso darfst du denn in der zahlenfolge 0 einsetzen für (an) ? ich habe da einfach nur für den ersten Induktions schritt die 7 für das (an) ersetzt und es kam auch raus das ( an > an+1 )ist! nur bei dem induktionsschluß da haperts bei mir habe einfach nicht die idee um die induktionsbehauptung auch noch ein 2 mal zu bestätigen. A(n)=> A(n+1) ?
MfG Anwar E. |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 757
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 11:27: |
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Zu deiner Frage: Ich setze 0 ein, weil die Behauptung ja war, daß es nur positive Glieder gibt. Zu zeigen ist also, daß an>0 für alle n.
Da beim Induktionsbeweis immer nur die zu beweisende Aussage verwendet wird, kann man also nur von an>0 als Voraussetzung ausgehen, nicht aber an=7. Die Startbedingung ist für diese Aussage nahezu irrelevant, solange a1 nur positiv gewählt wird.
Zur Verdeutlichung vielleicht noch einmal das Prinzip der vollständigen Induktion:
(1) Man zeigt eine Aussage A(n) für ein feste gewähltes n (In deinem Fall A(1)=(a1>0))
(2) Man nimmt an, daß man A(n) für ein festgelegtes n gezeigt hat. (Wir kennen also ein n für das an>0 gilt)
(3) Man zeigt, daß aus der Gültigkeit von A(n) auch die Gültigkeit von A(n+1) folgt.(an>0 => an+1>0)
Dann noch zur Konvergenz:
Eine reelle Folge ist konvergent, wenn sie monton und beschränkt ist. Dazu zeigen wir für alle n
(1) an>3
(2) an+1<an
Warum ich in (1) nicht an>0 verwende? Ganz einfach: Es reicht nicht aus, um später (2) zu zeigen. Denn die Funktion y=4-5/(x+2) verläuft nur dann unterhalb der ersten Winkelhalbierenden(und erfüllt somit die Bedingung y<x), wenn x>3 gewählt wird.
ad(1)
a1=7>3 ist offensichtlich richtig
an+1=4-5/(an+2)>4-5/(3+2)=4-1=3 q.e.d
ad(2)
Betrachte mit Hilfe der Funktion f(x)=4-5/(x+2) die Ungleichung f(x)<x.
4-5/(x+2) < x <=> 4(x+2)-5 < x(x+2) <=> 0 < x²-2x-3=(x+1)(x-3)
=> x>3 oder x<-1
Wegen an>3 ist somit auch an+1=f(an)<an
(an)nÎIN ist also monton fallend.
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Since (Since)
Junior Mitglied
Benutzername: Since
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 12:37: |
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Danke dir noch mal für die aufschluss reiche Erläuterung (Ingo) ich komme der Sache mit der Konvergentz immer noch nicht so ganz auf die schliche aber, das mit der Induktion ist eindeutig , zu mindest jetzt wo man es sieht!
Ich werde die Aufgabe noch mal reschnen und versuchen sie besser zu verstehen was es mit der Konv. auf sich hat, denn ohne deine Hilfe wäre ich nicht mal Ansatzweise drauf gekommen sie so zu reschnen , denn wie du schon erkannt hast wollte ich a1=7 für (an) einsetzen , was mir auch das Ergebniss erbracht hat aber viel zu umständlich und unter nicht korrekter verständniss, der eigentlichen aufgabe!
MfG Anwar E. |
