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Nanu (Nanu)
Neues Mitglied
Benutzername: Nanu
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Dezember, 2003 - 15:26: | 
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Hallo da draußen
Ich habe eine Aufgabe zum Thema „Integrierte Integration“, bei der ich einfach nicht weiterkomme. Sie lautet:
Sei f Element aus der Menge der Stetigen Funktionen mit kompaktem Träger.
Beweise oder widerlege die Formel:
Integral f(x)*f(x+y) d(x,y)[Integration über |R^2 ]
= (Integral f(x) dx)^2 [Integration über |R]
Kann mir jemand weiterhelfen? Ich hoffe die Notation ist verständlich.
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Nuefz (Nuefz)
Neues Mitglied
Benutzername: Nuefz
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Dezember, 2003 - 21:37: |
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Obwohl ich mich in dem Gebiet kaum auskenne, könnte ich mir denken, dass man den Beweis vielleicht irgendwie so angehen könnte (vielleicht gibt es aber auch andere, bessere Wege):
Da die Integration ja sowohl über x als auch y im gesamten Raum erfolgt, ist es ja eigentlich belanglos, in welcher Reihenfolge die Funktionswerte * dx * dy aufsummiert werden.
Man könnte also für jede "Aufsummierung nach x" y jeweils zu x passend so wählen, sodass x + y konstant gleich c ist.
Für eine solche Integration hätte man die Summe aller f(x) * f(c) * dx, und da f(c) also konstant bleibt, ergibt das f(c) * INT(f(x), x, R)
man hat für diese Integration also x + y = c, daher y = -x + c, also man integriert entlang einer -45°-Gerade. Um nun über den gesamten Raum^2 zu integrieren, muss man also nun diese Summe für alle c e R wiederholen (bildlich würde sich der Pfad entlang der Gerade parallel weiterverschieben), bis der gesamte Raum ausgefüllt ist. Also erhält man für die gesamte Summe dann:
I = Summe aller f(c) * INT(f(x), x, R) * dc, und da in diesem Fall INT(...) konstant bleibt, ist das dann INT(...) * INT(...) = INT(f(x), x, R)^2
Ja, das ist natürlich sehr unmathematisch und skizzenhaft argumentiert, aber wenn man die Grundidee beibehält und irgendwie auf die ursprüngliche Definition des Integrals zurückgreift:
INT(f(x), x, a, b) = lim[n->oo] (b - a) / n * SUM(f(a + k * (b - a) / n), k, 1, n)
mit a -> -oo und b -> +oo (um den gesamten Raum miteinzubeziehen)
und das gesamte zweimal hintereinander (für x und y) ausführt, kommt man vielleicht auf eine brauchbare Form eines Beweises.
Grüße,
Nuefz |
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