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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3208
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Dezember, 2003 - 10:58: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 137 nimmt Bezug auf die Aufgabe LF 136.
In der dort ermittelten Loxodrome ist der numerische Wert des
Tangens des Kurswinkels alpha gegeben; es gelte
tan (alpha ) = 5 und für
die Anfangsbedingungen wiederum u0 = v0 = 0.
Man bestimme eine Polarkoordinatendarstellung der
Orthogonalprojektion der entsprechenden Loxodrome
auf die Äquatorebene.
Der Pol soll mit dem Mittelpunkt des Äquators zusammenfallen,
die Polarachse ist die Schnittgerade der Nullmeridianebene mit der
Äquatorebene.
Die Projektion der Loxodrome in die Äquatorebene
ist eine so genannte Poinsotsche Spirale, benannt nach
dem französischen Mathematiker Louis Poinsot ( 1777 - 1859)
(Sein Geburtsjahr fällt zusammen mit demjenigen
von Carl Friedrich Gauss).
Die Idee des Trägheitsellipsoides stammt von Poinsot.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 729
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Dezember, 2003 - 16:35: |
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Megamath,
Im angenommenen Spezialfall gilt
u = 5 ln[tan(v/2+p/4)] =>
v = 2 arctan(eu/5) - p/2.
Ist P=(u,v) ein variabler Punkt auf der Loxodrome,
und P' seine Projektion in die Aequatorebene, so gilt
r := |OP'| = |OP| cos v = cos v.
Somit lautet die gesuchte Polargleichung der Projektion
r = cos[2 arctan(eu/5 - p/2] <=>
r = sin[2 arctan(eu/5)]
Das lässt sich noch "schöner" schreiben:
Wegen
sin(arctan x) = x/sqrt(1+x2},
cos(arctan x) = 1/sqrt(1+x2)
wird
r = 2 eu/5/(1+e{2u/5})
= 2/(eu/5+e-u/5) = 1/cosh(u/5) = sech(u/5).
(Beitrag nachträglich am 14., Dezember. 2003 von Orion editiert)
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3209
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Dezember, 2003 - 19:55: |
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Hi Orion
Vortrefflich !
Ich habe es auch bis zum secans hyperbolicus gebracht,
ein hehres Ziel !
Ein schönes Ergebnis, besonders, wenn man auch das zugehörige
Bildchen in einem CAS betrachtet !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 500
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Dezember, 2003 - 20:42: |
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Hi
nur so nebenbei und zum Verständnis:
Ist "irgendeine" Sekans - Funktion folgendes:
sec (alpha) = 1/cos(alpha) ?
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3210
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Dezember, 2003 - 21:02: |
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Hi Klaus
Ja so ist es; die Bezeichnung ist heute kaum mehr gebräuchlich,eigentlich schon lange nicht mehr.
Ich verwende sie nur noch zum Plausch.
Ich bin der Bezeichnung zwar noch in neueren italienischen und spanischen M-Büchern begegnet.
MfG
H.R.Moser,megamath |
