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Lockere Folge 136 : Loxodrome I

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3206
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 13. Dezember, 2003 - 19:56:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der neuen Aufgabe LF 136 soll die Gleichung einer Loxodrome
auf der Erdkugel bestimmt werden.
Der Radius wird mit R = 1 normiert.

Eine Loxodrome schneidet die Meridiane der Kugel unter einem
konstanten Winkel alpha; dieser Winkel kann als Kurswinkel
bei der Fahrt längs der Loxodrome aufgefasst werden.


alpha = 0 bedeutet: konstanter Kurs gegen Norden;
die Loxodrome fällt mit dem Meridian des Startortes zusammen.

Für alpha = 90° erhalten wir die konstante Richtung gegen Osten;
die Loxodrome ist der Parallelkreis des Startortes.

Für Werte von alpha zwischn 0° und 90° erhalten wir eigentliche
Loxodromen, die keine Kreise mehr sind und deren Gleichungen
wir bestimmen wollen.

Der laufende Punkt P habe die geographische Länge u und die
geographische Breite v;
Startort sei der Punkt Po der Länge uo und der Breite vo.

Zunächst starten wir auf dem Aequator; somit vo = 0 ;
es sei auch noch uo = 0.
Für den konstanten Kurswinkel alpha gelte 0 < alpha < 90°.

Man leite aus der Differentialgleichung
du / dv = tan (alpha) / cos (v) die Loxodromengleichung u = u(v)
her, unter Berücksichtigung der genannten Anfangsbedingungen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 728
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Dezember, 2003 - 09:05:   Beitrag drucken

Megamath,

Herleitung der Dgl.: Im rechtwinkligen spärischen
Dreieck PQR mit P=(u,v), Q=(u+h,v), R=(u+h,v+k)
(rechter Winkel bei Q) gilt wegen

PQ = h cos v, QR = k :

tan a = tan(h cos v)/sin(k)

=[ h cos v + O(h3)]/[k+O(k3)]

= (h/k)*[(cos v + O(h2)/(1+O(k2)]

Nun lässt man u®0 streben, also
h/k® du/dv.

Die Dgl. ist separierbar, und wegen

int(dv/cos v) = ln tan (v/2+p/4) + C

lautet die Lösung für den allgemeinen Startpunkt
(u0, v0) :

u = u0 +

tan a ln [tan(v/2+p/4)/tan(v0/2+p/4)]



mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3207
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Dezember, 2003 - 10:03:   Beitrag drucken

Hi Orion,

Besten Dank für Deinen Beitrag,insbesondere
auch für die Herleitung der DGL.
Das O(h^3) gefällt mir besonders gut,
das ist ein richtiges OH-Erlebnis.

Es geht gleich weiter!

MfG
H.R.Moser,megamath

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