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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3206 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 13. Dezember, 2003 - 19:56: |
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Hi allerseits In der neuen Aufgabe LF 136 soll die Gleichung einer Loxodrome auf der Erdkugel bestimmt werden. Der Radius wird mit R = 1 normiert. Eine Loxodrome schneidet die Meridiane der Kugel unter einem konstanten Winkel alpha; dieser Winkel kann als Kurswinkel bei der Fahrt längs der Loxodrome aufgefasst werden. alpha = 0 bedeutet: konstanter Kurs gegen Norden; die Loxodrome fällt mit dem Meridian des Startortes zusammen. Für alpha = 90° erhalten wir die konstante Richtung gegen Osten; die Loxodrome ist der Parallelkreis des Startortes. Für Werte von alpha zwischn 0° und 90° erhalten wir eigentliche Loxodromen, die keine Kreise mehr sind und deren Gleichungen wir bestimmen wollen. Der laufende Punkt P habe die geographische Länge u und die geographische Breite v; Startort sei der Punkt Po der Länge uo und der Breite vo. Zunächst starten wir auf dem Aequator; somit vo = 0 ; es sei auch noch uo = 0. Für den konstanten Kurswinkel alpha gelte 0 < alpha < 90°. Man leite aus der Differentialgleichung du / dv = tan (alpha) / cos (v) die Loxodromengleichung u = u(v) her, unter Berücksichtigung der genannten Anfangsbedingungen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 728 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Dezember, 2003 - 09:05: |
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Megamath, Herleitung der Dgl.: Im rechtwinkligen spärischen Dreieck PQR mit P=(u,v), Q=(u+h,v), R=(u+h,v+k) (rechter Winkel bei Q) gilt wegen PQ = h cos v, QR = k : tan a = tan(h cos v)/sin(k) =[ h cos v + O(h3)]/[k+O(k3)] = (h/k)*[(cos v + O(h2)/(1+O(k2)] Nun lässt man u®0 streben, also h/k® du/dv. Die Dgl. ist separierbar, und wegen int(dv/cos v) = ln tan (v/2+p/4) + C lautet die Lösung für den allgemeinen Startpunkt (u0, v0) : u = u0 + tan a ln [tan(v/2+p/4)/tan(v0/2+p/4)]
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3207 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Dezember, 2003 - 10:03: |
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Hi Orion, Besten Dank für Deinen Beitrag,insbesondere auch für die Herleitung der DGL. Das O(h^3) gefällt mir besonders gut, das ist ein richtiges OH-Erlebnis. Es geht gleich weiter! MfG H.R.Moser,megamath
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