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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1000
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Dezember, 2003 - 13:08: | 
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Hi,
ich arbeite grade das Buch:
"Aufgabesammlung zur höheren Mathematik Band 1" von Bedi Büktas
durch.
Jetzt hänge ich an folgender Aufgabe:
Wie lang ist die Tangente, die man vom Punkt A ( 6 | 7 ) aus an den Kreis k : x^2 + y^2 + 5x -3y -8 = 0 legen kann?
Als Lösung ist angegeben:
sqrt(86) und als Anmerkung ( = sqrt(Potenz) von A bezüglich Kreis ).
Wie kann ich mir das vorstellen, was genau ist die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises? Ich kenne nur Potenzgeraden mehrerer Kreise...
Hoffe ihr könnt mir helfen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3202
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Dezember, 2003 - 13:55: |
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Hi Ferdi,
Die Potenz des Punktes A bezüglich des gegebenen Kreises bekommst Du,
indem Du in der linken Seite der auf null gebrachten Kreisgleichung,
deren Koeffizienten von x^2 und y^2 je eins betragen, die Koordinaten
von A einsetzest.
Du bekommst 86, die gesuchte Tangentenstrecke ist die Quadratwurzel aus
86.
Das Wunder hängt mit dem Tangenten-Sekantensatz zusammen.
Für Punkte im Innern wird der Sehnensatz herangezogen.
Bei Gelegenheit leite ich Dir den zu Grunde liegenden Satz her.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3203
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Dezember, 2003 - 14:10: |
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Hi Ferdi,
Ich empfehle Dir nachdrücklich, eifrig mit
diesem Buch zu arbeiten. Die Aufgaben sind schon von
ihrer Herkunft her von erster Qualität!
Wenn ich nicht irre, stammen die Aufgaben aus Serien
der Aufnahmeprüfungen der ETH Zürich und der
eidgenössischen Maturitätsprüfungen, die jährlich
zweimal stattfinden.
Ich hatte früher viel damit zu tun.
Ich wünsche Dir viel Vergnügen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 823
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Dezember, 2003 - 14:11: |
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Hi,
die Potenz eines Punktes P bezüglich eines Kreises k(M(u;v);r) ist definiert als das Quadrat der Tangentenstrecke t = PT jener Tangenten, die man von P aus an den Kreis k legen kann (T ist einer der beiden Berührungspunkte).
p(k) = t²
Weil M,T und P ein rechtwinkeliges Dreieck (Hypothenuse MP) bilden, gilt:
MT² + t² = MP²
t² = p(k) = MP² - r²
Da Vekt(MP) = Vekt(P) - Vekt(M), ist weiterhin
p(k) = (P - M)² - r²
Auf der rechten Seite steht gerade die auf Null gebrachte Kreisgleichung (X - M)² - r² = 0, in die der Punkt P eingesetzt wurde!
Gr
mYthos |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1001
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Dezember, 2003 - 14:30: |
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Hi megamath und mythos,
besten Dank für eure Information, jetzt wird mir die Aufgabe etwas klarer!
@megamath:
Dieser Satz würde mich interessieren!
Ja, das Buch ist mir in der Bücherei aufgefallen! Ich habe nun Teil I und II ausgeliehen, sie stammen aus dem Jahre 1978! Tatsächlich kommt der Autor aus Zürich und dankt im Vorwort dem Institut Juventus Zürich und der eidgenössischen Maturitätskommision, das er ihre Aufgaben nutzen darf!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3204
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Dezember, 2003 - 14:38: |
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Hi Ferdi,
Die Potenz F(P) eines Punktes P in Bezug auf einen
Kreis k ist positiv, wenn P außerhalb k liegt, sie ist negativ,
wenn p innerhalb k liegt und null, wenn P auf der Kreislinie
liegt.
Im ersten Fall stimmt F(P) mit dem Produkt der auf einer
beliebigen Sekante durch P von P aus gemessenen Abschnitte
bis zu den Kreisschnittpunkten.
Im zweiten Fall gilt Analoges für eine durch P gelegte Sehne
des Kreises.
Der Mittelpunkt M eines Kreises vom Radius r hat die Potenz
F(M) = - r^2.
Untersuche in einem ersten Anlauf die Situation beim Kreis
x^2 + y^2 = r^2 und überzeuge Dich davon,
dass die Potenz des Punktes P(xo/yo) so berechnet werden kann:
F(P) = xo^2 + yo^2 – r^2
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3205
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Dezember, 2003 - 14:55: |
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Hi Ferdi
Halte durch!
Bald ist es soweit:
Wir gratulieren Dir zum Beitrag
NR.1000 !
Mach so weiter!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1002
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Dezember, 2003 - 16:01: |
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Hi megamath,
besten Dank!
Das war mir gar nicht aufgefallen! Ein schöne Zahl die 1000! Ich werde durchhalten und weitermachen!
mfg |
