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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3199
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Dezember, 2003 - 10:01: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 135 nimmt Bezug auf die vorangehende
Aufgabe LF 134.
Dort ging es darum, für zwei Erdorte A und B mit der gleichen
geographischen Breite v (0<v<½Pi) und der Längendifferenz u
(0< u <= Pi) die Wegdifferenz D zwischen der Länge L1 des
Parallelkreisbogens B1 und der Länge L2 des Grosskreisbogens
von A nach B zu berechnen.
Resultat:
D = L1 - L2 = R {u cos v - 2 arc sin [cos v * sin (½ u)]}
(R ist der Erdradius).
Für die Längendifferenz u = Pi ergibt sich ein Maximum für D,
wenn
cos v = sqrt(Pi^2-4)/Pi gilt.
In der neuen Aufgabe soll für beliebige u mit 0<u<= Pi
derjenige Wert von v = v* ermittelt werden, der das Maximum
für D liefert.
Man stelle die Funktion m = v*(u) dar und berechne
den Grenzwert von v* für u strebt gegen null.
Man setze stets R = 1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 727
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Dezember, 2003 - 15:44: |
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Megamath,
L1 = u cos v , ferner nach dem Seitencosinussatz
cos L2 = sin2 v + cos u cos2v
= 1 - (1-cos u) cos2v =>
2 sin2(L1/2) = 2 sin2(u/2) cos2v =>
L1 = 2 arcsin[sin(u/2) cos v] =>
D(v) = u cos v - 2 arcsin[sin(u/2) cos v] =>
D'(v) =
sin v [-u +2 sin(u/2)(1-sin2(u/2) cos2v)-1/2]
Sei v‡0. m ergibt sich dann aus
D'(m)=0 <=>
cos2m = [u2-4 sin2(u/2)]/ u2sin2(u/2)
= [(x/sin x)2-1]/x2 (Abkürzung = u/2 =: x)
Zwecks Ermittlung des Grenzwertes für x®0
benutzen wir
x-x3/6 < sin x < x
und erhalten durch Umformung
0 < [(x/sin x)2-1]/x2 < (12-x2)/(6-x2)2
Der Mittelterm strebt also gegen 1/3.
Ergebnis :
m = arccos[1/sqrt(3)]
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3200
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Dezember, 2003 - 15:55: |
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Hi Orion
Das war ziemlich spannend!
Unsere Resultate stimmen,wie es sich ehört,
überein.
MfG
H.R.Moser,megaamth
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