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Fraggy (Fraggy)
Neues Mitglied
Benutzername: Fraggy
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 12:21: | 
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Hallo.
Ich komme mit diesen beiden Aufgabe nicht klar, da ich aus meinen Unterlagen nicht entnehmen kann, wie genau ich in einem bestimmten Fall die Stetigkeit zeigen kann.
1. Aufgabe
Man zeige: die Funktion x |-> a^x ist für a > 1 streng monoton wachsend, für 0 < a < 1 streng monoton fallend. In beiden Fällen wird IR bijektiv auf IR+* abgebildet. Die Umkehrfunktion ^a log:IR+* -> IR (Logarithmus zur Basis a) ist stetig und es gilt ^a logx = lnx/lna für alle x € IR+*
Bei der Aufgabe muß ich eigentlich keine Stetigkeit zeigen, sondern nur die Monotonie, oder?
2. Aufgabe
f:[a,b] -> IR sei stetig, g:[a,b] -> IR sei definiert durch g(x) := max{f(y), a <= y <= x}. Man zeige: g ist stetig und monoton wachsend, es gilt f(x) <= g(x) für alle x € [a,b] und g ist die kleinste Funktion mit diesen drei Eigenschaften.
Da fehlen mir die Worte. Hab das mit dem max{...} bzw. min{...} auch noch nicht ganz verstanden, glaub ich.
Kann mir das bitte jemand anschaulich mit Erklärungen vorrechnen?
Danke. |
Fraggy (Fraggy)
Neues Mitglied
Benutzername: Fraggy
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 19:15: |
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Kann mir denn wirklich niemand weiter helfen?!? |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 216
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 21:31: |
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Hi,
bei deiner 1. Aufgabe hängts davon ab, wie ihr a^x definiert habt, vermutlich über die e-Funktion: a^x=exp(x*ln a). Dann kannst du deren strenge Monotonie nutzen, denn die Verkettung von strenger Monotonie gibt wieder strenge Monotonie. Dann steht da aber noch was von Bijektivität, also musst du wenigstens ein Wort zur Surjektivität verlieren; die Injektivität folgt aus der strengen Monotonie.(Alternativ kannst du mit der Verkettung bijektiver Funktionen argumentieren). Dann fehlt noch die Stetigkeit der Umkehrfunktion und deren Darstellung. Wenn du erst die Formel nachrechnest, folgt die Stetigkeit aus der des ln.
Deine 2. Aufgabe ist halt einiges an Schreibarbeit. Ich würde mit der Monotonie anfangen, die sieht man direkt, weil die Menge, über die das Maximum gebildet wird, sich vergrößert und das Maximum über einer Menge ist immer größer oder gleich dem Maximum über einer Teilmenge. Daraus folgt insbesondere auch f<=g.
Damit kann die Funktion höchstens noch springen oder stetig sein. Springen geht aber gar nicht: Wenn f(x)<g(x), dann ist g in einer Umgebung von x sogar konstant, wegen der Stetigkeit von f. Wenn aber f(x)=g(x), dann verhindert die Stetigkeit von f ebenfalls einen Sprung von g. Wie du das genau hinschreibst hängt etwas von eurer Stetigkeitsdefinition ab.
Die Minimaleigenschaft zeigt du am einfachsten mit einem Widerspruchsbeweisl: Nimm an, es gäbe eine Funktion h mit all diesen Eigenschaften und es gäbe eine Stelle x mit
f(x)<=h(x)<g(x). Dann muss es wegen der Definition von g ein y<x geben mit
h(y)>=f(y)=g(x)>h(x) und schon hast du einen Widerspruch zur Monotonie ! |
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