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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3180
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 16:35: | 
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Hi allerseits
Nach einer kurzen schöpferischen Pause
habe ich mir die Aufgabe LF 132 ausgedacht.
Die Aufgabe lautet:
Die Ebene E mit der Koordinatengleichung
a x + b y + c z = 1 ist eine Tangentialebene der Kugel
(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = R ^ 2
Welche Relation müssen die Koeffizienten a, b, c
erfüllen, wenn die Berührung stattfinden soll?
Die Relation ist quadratisch in den Parametern a,b,c.
Die zugehörige Gleichung soll in einem
orthonormierten (a,b,c) - Koordinatensystem als eine
Fläche zweiter Ordnung gedeutet werden.
Um welche Flächentyp handelt es sich, wenn
a) R = 1
b) R = 2
gewählt wird?
Von den zugehörigen quadratischen Formen sind
die Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen.
Viel Vergnügen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 991
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 20:12: |
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Hi megamath,
hier mal meine Idee:
Man bildet den Gradienten für die Kugel:
m = { (2x-2) , (2y-2) , (2z-2) }
Dieser steht im Berührpunkt S ( u | v | w ) senkrecht, ist also Normalenvektor der Tangentialebene!
Es gilt: Zwei Ebenen sind Identsich, wenn alle ihre Gleider konstant sind:
(2u-2) / a = (2v-2) / b = (2w-2)/c = (R^2-3) / 1
Ebenenfalls gilt: S liegt auf der Kugel und auf der Ebene!
au + bv + cw = 1
(u-1)^2 + (v-1)^2 + (w-1)^2 =R^2
Man hat drei Gleichungen mit drei Unbekannten! Man kann nun u , v und w eliminieren und durch a, b, und c ausdrücken!
Nur hier hackt es bei mir, ich erhalte immer solche Riesenausdrücke die mir unwahrscheinlich erscheinen!
Sind denn meine Ideen bis hier her ok, oder hat sich schon ein Fehler eingeschlichen? Oder gibts gar eine einfachere Methode?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3182
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 20:39: |
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Hi Ferdi
Danke für Deine Bemühungen.
Deine Idee gefällt mir nicht-----------
schlecht,hihi!
Ich werde sie morgen prüfen.
Ich habe ein Vorgefühl: das könnte recherisch etwas unangenehm werden.
Ich habe, mit Verlaub, eine vielleicht etwas
bessere Idee. die mir jedenfalls keine Mühe bereitet hat.
Schlafen wir darüber
und schauen morgen weiter !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 992
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 20:55: |
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Hi,
also ich hab das jetzt mal durchgezogen und erhalte:
(R^2-1)a^2 + (R^2-1)b^2 + (R^2-1)c^2 - 2ab - 2ac - 2bc + 2a + 2b + 2c = 1
Jetzt will ich aber auch erst mal schlafen, morgen gehts wieder um 5:00 los, mal sehen wohin. Bin dann am späten abend wieder im Forum! Bin schon auf deine Lösung gespannt!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3184
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 07:48: |
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Hi Ferdi
Ich habe genau das gleiche Resultat, das offenbar richtig ist (sic).
Meine Herleitung werde ich später ins Netz stellen.
Könntest Du Deine Methode in einer gekürzten Fassung
auch vorführen?
Einen Vorbehalt muss ich der guten Ordnung halber anbringen:
mit dem von mir in der Aufgabe formulierten Ansatz
a x + b y + c z = 1 für Tangentialebenen sind diejenigen Ebenen,
a priori ausgeschlossen, welche durch den Nullpunkt gehen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3185
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 10:18: |
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Hi Ferdi
In meiner Lösung benütze ich die Abstandsformel von Hesse.
Die Ebene E, die zur Tangentialebene der gegebenen Kugel werden soll,
hat, wie im Aufgabentext vorgegeben, die Gleichung
a x + b y + c z = 1.
Gesucht wird eine Relation für die Koeffizienten a,b,c.
Damit E zur Tangentialebene wird, fordern wir dies:
Der Abstand d des Mittelpunktes M(1/1/1) von E hat den Betrag R.
Die Gleichung von E in der Normalform von Hesse lautet:
[a x + b y + c z - 1] / sqrt (a^2 + b^2 + c^2) = 0
Um den Abstand d zu erhalten, setzen wir für x , y, z die
Koordinaten des Mittelpunktes M(1/1/1) ein.
Es entsteht die Gleichung
[a + b + c -1 ] / sqrt (a^2 + b^2 + c^2) = R
quadriert und Bruch weg:
[a + b + c - 1 ] ^ 2 = R^2 (a^2 + b^2 + c^2)
Diese Relation muss erfüllt sein, damit die Ebene E mit
der Gleichung a x + b y + c z = 1 die gegebene Kugel
berührt.
Sie kann leicht auf die Deinige umgerechnet werden.
Damit ist ein erster Teil der Aufgabe gelöst.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 994
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 18:20: |
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Hi megamath,
ich gebe mich geschlagen! Deine Lösung ist ist ja 10000mal einfacher und schneller, naja, hauptsache wir erhalten das selbe Ergebniss!
Hier meine Lösung:
Wir entnehmen dem Gradienten und dem Normalenvektor ja die Gleichungen:
2x-2 / a = 2y-2 / b = 2z-2 / c
Drücken wir x und y durch z aus!
x = [a(z-1) / c] + 1
y = [b(z-1) / c] + 1
Die +1 heben sich in der Kugelgleichung weg, also setzen wir es dort ein und erhalten z!
z = [cR/(sqrt(a^2+b^2+c^2)] + 1
Dieses z setzen wir in die Werte von x und y ein! Wir erhalten nun x, y und z nur in Abhängigkeit von a, b , c und R!
x = [aR/(sqrt(a^2+b^2+c^2)] + 1
y = [bR/(sqrt(a^2+b^2+c^2)] + 1
z = [cR/(sqrt(a^2+b^2+c^2)] + 1
Dies setzen wir in die Ebenen Gleichung ein und vereinfachen soweit es geht!
R*sqrt(a^2+b^2+c^2) = (1-a-b-c)
Nun quadrieren wir beide Seiten und erhlaten die Lösung von megamath, wenn man die zweiten KLammer noch ausmultipliziert, erhält man mein oben gennates Ergebniss!
R^2 * (a^2+b^2+c^2) = (1-a-b-c)^2
Naja, man sieht doch welche Methode schneller und einfacher ist, naja, warum einafch wenn es auch schwer geht?
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3186
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 19:15: |
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Hi Ferdi
Besten Dank für Deine Herleitung .
Dass sie angeblich um Zehnerpotenzen länger
sei, spielt keine Rolle.
Im Gegenteil !
Der Durchhaltewille ist wesentlich
und oft sehr hilfreich; es gilt, auch den zu üben.
Deine Methode hat viel für sich und kann bei
abgeänderten Ausgangslagen bei analogen Aufgaben
vielleicht die einzig taugliche sein.
Es geht um das Répertoire, und das kann nicht groß
genug sein!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 995
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 20:21: |
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Hi,
dann bin ich ja beruhigt!
Den Aufgabenteil b) werde ich morgen abend nachreichen, jetzt gönne ich mir ein paar Stunden Schlaf...
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 996
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 16:31: |
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Hi megamath,
nach einer eingehenden Untersuchung in der Mittagspause erhalte ich für:
R = 1
-ein einschaliges Hyperboloid
-Mittelpunkt M( 0,5 | 0,5 | 0,5 )
R = 2
-ein Ellipsoid
- Mittelpunkt M ( -1 | -1 | -1 )
solte das stimmen, dann poste ich auch noch die schöne Rechung dazu!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3195
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 18:21: |
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Hi Ferdi
Ich habe dasselbe interessante Resultat.
Ich bin gespannt auf Deine Herleitung !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 997
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 21:48: |
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Hi,
hier meine Herleitung!
Setzen wir in der oberen Relation, die a, b und c erfüllen müssen R=1!
Wir erhalten:
- 2ab - 2ac - 2bc + 2a + 2b + 2c = 1
Berechen wir hier wieder den Gradienten und setzen diesen 0, so erhalten wir den Mittelpunkt der Fläche:
b+c=1 , a+c=1 , a+b=1 mit der Lösung:
a = b = c = 0,5
Führen wir nun neue Koordinaten ein, so machen wir M zum neuen Mittelpunkt!
a = x + 0,5
b = y + 0,5
c = z + 0,5
Wir erhalten:
- 2xy - 2xz - 2yz = -0,5
Sieht schon mal besser aus! Hiervon berechnen wir die quadratische Matrix un deren Eigenwerte!
Diese hat das charak. Polynom L^3-3L+2=0 dessen Nullstellen ja die Eigenwerte sind!
L1 = L2 = 1 , L3 = -2
Führen wir nun eine weitere Koordinatentransformation durch mit der Diagonalmatrix der quadratischen Form, so erhalten wir die Form in der wir erkennen, um was es sich handelt:
A^2 + B^2 - 2C^2 = -0,5
4C^2 - 2A^2 - 2B^2 = 1
Wir können ausserdem erkennen, an der Doppelösung L=1, das es sich um eine Rotationsfläche handelt!
Für R=3 , erhalten wir durch den Gradienten das Gleichungssystem:
b + c - 3a = 1
a + c - 3b = 1
a + b - 3c = 1
Mit der Lösung a = b = c = -1, durch Koordinatentransformation erhalten wir hier:
3x^2 + 3y^2 + 3z^2 -2xy - 2xz - 2yz = 4
Die Quadratishce Matrix lautet hier:
mit dem charak. Polynom: L^3-9L^2+24L-16=0 , mit den Lösungen L1 = L2 = 4 , L3 = 1! Auch hier handelt es sich um eine Rotationsfläche und zwar wie man nach einer weiteren Transformation sieht:
4A^2 + 4B^2 + C^2 = 4
um ein Ellipsoid!
Erstaunlich und interessant wie die Bedingung für eine Tangentialebene mit quadratischen Formen zusammenhängen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3198
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 22:25: |
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Hi Ferdi
Herzlichen Dank für diese
instruktive Herleitung!
Hier gibt es viel zu lernen und zu beherzigen.
Ich werde mir Alles morgen zu Gemüte führen.
MfG
H.R.Moser,megamath |
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