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Tim_ellen (Tim_ellen)
Junior Mitglied
Benutzername: Tim_ellen
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 13:52: | 
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Hallo!!
Komm bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter. Könnt ihr mir helfen? Wäre echt super:
1.) Seien F,F´ die Brennpunkte einer Ellipse E ungleich Kreis. Für jedes Q element E ist die Winkelhalbierende der orientierten Geraden von Q nach F und von F´nach Q die Tangente TQE an E in Q, d.i. Q = ( TQE und E)
Hinweis: Spiegele F an der Tangenten TQ
Vielen Dank im Voraus!! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3181
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 19:39: |
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Hi Tim
Zur Beantwortung Deiner Frage benütze ich die entsprechende
Textstelle aus dem berühmten Buch
Anschauliche Geometrie von D. Hilbert und S.Cohn-Vossen,1944.
Dem Text, den ich wörtlich zitiere, ist eine Figur beigegeben
Diese besteht aus der beliebigen Tangente t mit Berührungspunkt
B(B1) und den beiden Brennpunkten F1 und F2.
T1 und T2 sind zwei beliebige Punkte auf T; sie liegen so,
dass B zwischen T1, T2 liegt.
F2 wird an t gespiegelt; der Bildpunkt wird mit F2´ bezeichnet.
Neben B wird ein weitere Punkt B2 (verschieden von B)
auf t angenommen.
Achtung: B erscheint als Schnittpunkt der Geraden F1 F2´mit t;
B1 ist mit B identisch !
Dies ergibt sich zwingend aus dem Text.
Die Geraden F1B und F2B sind die so genannten
Brennstrahlen von B.
Der Text lautet:
In Analogie zu der Tatsache, dass die Kreistangente auf dem
Radius des Berührungspunktes senkrecht steht, bildet die
Ellipsentangente gleiche Winkel mit den Brennstrahlen des
Berührungspunktes.
Meine Behauptung lautet mit der Bezeichnung der Figur:
Winkel F1 B T1 (Scheitel bei B) = Winkel F2 B T2 (Scheitel bei B)
Zum Beweis spiegele ich F2 an der Tangente und nenne den
Spielpunkt F2´.
Nun ist die Gerade F1F2´,welche die Tangente in B1
treffen möge, der kürzeste Weg zwischen F1 und F2´.
Also ist F1 B1 F2 der kürzeste Weg zwischen F1 und F2, der die
Tangente trifft; denn für jeden anderen Punkt B2 ist
F1 B2 F2 = F1 B2 F2´länger als F1 B1 F2 = F1 B1 F2´.
Andrerseits wird aber der kürzeste Weg zwischen F1 und F2,
der die Tangente trifft, von den Brennstrahlen des
Berührungspunktes B gebildet.
Denn jeder andere Punkt der Tangente hat, da er im
Ellipsenäußeren liegt , größere Entfernungssumme von den
Brennpunkten als der Ellipsenpunkt B.
B fällt also mit B1 zusammen, und hieraus folgt die Behauptung.
Denn F2 und F2´liegen zu der Geraden T1 T2 symmetrisch,
und Winkel F1 B1 T1 ist der Scheitelwinkel von Winkel F2´B1 T2.
Ende Zitat.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3183
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 21:33: |
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Hi allerseits
In meinem vorangehenden Beitrag habe ich das Buch
Anschauliche Geometrie von D. Hilbert und S.Cohn-Vossen,1944,
erwähnt und daraus zitiert.
Das Werk erschien 1932 im Springer-Verlag,Berlin
in der Sammlung
Die Grundlagen der Mathematischen Wissenschaften.
Das Besondere daran ist, dass zu der angegeben Zeit(1944)
alle diese Bücher wegen des Zweiten Weltkrieges im Handel
nicht mehr erhältlich waren.
Wenigstens nicht in Deutschland und damit auch nicht in der
Schweiz.
Da sprangen die Amerikaner ein!
Sie fotokopierten kurzerhand die begehrten Bände.
In meinem Exemplar, das ich auf Umwegen erhielt, steht
auf dem Titelblatt denn auch:
Published and distributed in the public interest by authority
of the U.S.Alien Property Costodian under license No.A-694
New York,Dover Publications 1944.
In meiner Bibliothek befinden sich zahlreiche Werke aus dieser
Reihe; einige davon sind mit einem Vokabular D-E zur
mathematischen Terminologie ausgerüstet.
Unter diesen Büchern finden sich:
die Bände von L .Bieberbach zur Funktionentheorie und zu den
Differentialgleichungen,
die Vorlesungen von W.Blaschke über Differentialgeometrie,
die Mengenlehre von A.Fraenkel,
die Algebraische Geometrie von B.L.van der Waerden,
die Aufgabenbände von G.Polya und G.Szegö
und so weiter und so fort.
No comment !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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