| Autor |
Beitrag |
    
Chroedde (Chroedde)
Mitglied
Benutzername: Chroedde
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 17:08: | 
|
Ich habe ein dickes Problem. Bekomme folgende Aufgabe nicht hin.
Ein Spaziergänger bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v. Sein Hund läuft mit konstanter Geschwindigkeit w auf ihn zu, so daß die momentane Richtung seiner Bahn immer auf den Ort des Spaziergängers zum gleichen Zeitpunkt zeigt. Die Ausgangsposition des Hundes sei beliebig. Der Weg des Spaziergängers werde als y-Achse gewählt. Zeigen Sie, daß die Bahnkurve des Hundes folgende Dgl. erfüllt:
a*|x|*y'' minusplus Wurzel aus (1+ ( y' )^2) = 0 mit w/v > 0
Bestimmen Sie die allgemeine Lsg. dieser Dgl. Erniedrigen Sie dazu die Ordnung durch y' = u |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 726
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 11:01: |
|
Chroedde:
Vorschlag:
Die Hundekurve K sei zunächst in Parameterform
K : x = x(t), y = y(t)
notiert, dabei ist t die Zeit. Im Zeitpunkt t=0 sei der
Fussgänger in (0,b), b > 0. Im Zeitpunkt t ist er dann
in (0, b-vt) angelangt,v>0. Die Tangente an K im Punkt
(x(t),y(t)) soll durch (0,b-vt) verlaufen. Der Richtungsvektor der Tangente ist (x'(t),y'(t))
( ' bezeichnet jetzt Ableitung nach t). Also
x(t) = l x'(t) , y(t) = b-vt + l y'(t)
=> l = x(t)/x'(t)
y(t) = b-vt + x(t)y'(t)/x'(t)
Dies differenzieren wir nach t :
(1) y'(t) = -v + (d/dt)[x(t)y'(t)/x'(t)]
Nun beachten wir, dass wegen konstanter Hundegeschwindigkeit w = av (a:= w/v)
x'(t)2 + y'(t)2 = w2 = a2v2.
Damit können wir das in (1) auftretende x''(t) eliminieren. Dann bleibt die Gleichung
(2) x(t)*(d/dt)(y'(t)/x'(t)) = v
(rechne nach !) Nunmehr denken wir uns K in der
expliziten Form y = f(x). Dann ist d/dt = x'(t)(d/dx),
y'(t)/x'(t) = (d/dx) f(x)
und (2) geht über in die behauptete Dgl. für f(x). Setzt man f'(x) = u (' bedeutet jetzt Ableitung nach x), so
kommt nach Variablentrennung
u'/sqrt(1+u2) = ±1/(ax)
Links steht die Ableitung von
ln[u+sqrt(1+u2)].
mfG Orion
|
Chroedde (Chroedde)
Mitglied
Benutzername: Chroedde
Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Dezember, 2003 - 18:52: |
|
Vielen Dank |
|
