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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3166
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 12:33: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 129 erscheint eine
Aufgabe aus der sphärischen Trigonometrie.
Auf einer Kugel vom Radius 1 liegt ein
sphärisches Dreieck, dessen Innenwinkel
unter sich gleich sind.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist Pi.
Man berechne alle drei Seiten des Dreiecks.
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 983
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 14:22: |
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Hi megamath,
ich versuche mich mal, auch wenn das Gebiet für mich neu ist:
Für den Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks auf der Kugel mit dem Radius r gilt und den Winkeln a, b und c gilt:
F = ( a + b + c -pi ) * r^2
Hier ist r = 1 und ausserdem a = b = c und F = pi!
=> pi = 3a - pi
=> 2pi = 3a
=> a = (2/3)pi
Alle Winkel betragen (2/3)pi, oder 120° !
Dies ist im sphärischen Dreieck möglich, da für die drei Innenwinkel die Ungleichung gilt:
pi < a + b + c < 3pi
was hir ja erfüllt ist!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3170
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 15:02: |
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Hi Ferdi
Die Winkel sind richtig,bravo!
Jetzt gilt es,die Seiten des Dreiecks zu berechnen
Das sind gewisse Zentriwinkel, deren Grösse im Gradnmass erwünscht sind.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 988
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 16:19: |
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Hi,
also ich erhalte ohne Gewähr für die Seiten A, B und C:
A = B = C ~ 109,471° { = 2*arctan(sqrt(2)) }
Hierzu habe ich die Formel (Halbseitensatz) benutzt:
tan(A/2) = sqrt( (-cos(d)*cos(d-a))/(cos(d-b)*cos(d-c))
wobei d = (1/2) * (a + b +c) = 180°
Oder gibts da noch andere Methoden?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3173
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 17:24: |
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Hi Ferdi
Das Resultat ist richtig.
Ich habe den Winkelkosinussatz eingesetzt.
MfG
H.R.Moser,megamath
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