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Eva191105 (Eva191105)
Junior Mitglied Benutzername: Eva191105
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 19:29: |
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N´Abend! Bin auf ein Problem gestoßen, dass ich grad nicht lösen kann. Hier erstmal die Aufgabe: Summe von a_n, Summe von b_n seien Reihen mit positiven Gliedern und es gelte (a_(n+1))/a_n <= (b_(n+1))/b_n für n >= n_0. Man zeige: 1)wenn Summe von b_n konvergiert, so konvergiert auch Summe von a_n 2)wenn Summe von a_n divergiert, so divergiert auch Summe von b_n. Hab zu 1) überlegt, dass wenn b_n konvergiert, die Folge ja beschränkt sein muß, oder? Dann wäre doch b_n eine konvergente Majorante zu a_n, oder? Somit ist dann doch auch a_n konvergent. Mal angenommen, meine Überlegungen stimmen. Wie schreibe ich dass dann mathematisch korrekt auf?!? Wenn die Überlegungen nicht stimmen, dann hab ich ein noch größeres Problem, dann weiß ich nämlich nicht mehr weiter. Wie sieht das denn bei 2) aus? Wäre super, wenn mir jemand ganz schnell antworten würde, es eilt ein bissl. Danke! |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 185 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 22:10: |
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Hi Eva, du hast fast recht. Um es technisch sauber zu machen, solltest du noch eine Konstante C einführen, z.B. C=a_n0/b_n0. Dann hast du mit C*b_n tatsächlich eine konvergente Majorante zu den a_n. Das C brauchst du, weil du in deiner Voraussetzung nur die Verhältnisse hast, nicht die absoluten Größen. Die 2 geht ganz entsprechend. Das mit dem mathematisch korrekten Aufschreiben ist insofern schwierig, weil es davon abhängt, was ihr an Sätzen kennt und benutzen könnt. a_n <= C*b_n für alle n>=n0 kannst du jedenfalls mit Induktion aus der Voraussetzung beweisen. |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 588 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 22:47: |
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Hallo, das Quot-kriterium ist ein sehr schwaches Kriterium; denn f. alle n aus IN gilt n/(1+n) < 1 und dennoch ist die Reihe divergent; a<n+1>/a<n> < 1 <-- möglicherweise konvergent a<n+1>/a<n> = 1 <-- unbestimmt a<n+1>/a<n> > 1 <-- auf jeden fall divergent zusätzlich muß die folge der reihenglieder eine nullfolge sein; Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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