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Konvergenz/Divergenz von Reihen mit p...

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Eva191105 (Eva191105)
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Junior Mitglied
Benutzername: Eva191105

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 19:29:   Beitrag drucken

N´Abend!

Bin auf ein Problem gestoßen, dass ich grad nicht lösen kann. Hier erstmal die Aufgabe:

Summe von a_n, Summe von b_n seien Reihen mit positiven Gliedern und es gelte (a_(n+1))/a_n <= (b_(n+1))/b_n für n >= n_0.

Man zeige:
1)wenn Summe von b_n konvergiert, so konvergiert auch Summe von a_n
2)wenn Summe von a_n divergiert, so divergiert auch Summe von b_n.

Hab zu 1) überlegt, dass wenn b_n konvergiert, die Folge ja beschränkt sein muß, oder?
Dann wäre doch b_n eine konvergente Majorante zu a_n, oder?
Somit ist dann doch auch a_n konvergent.

Mal angenommen, meine Überlegungen stimmen. Wie schreibe ich dass dann mathematisch korrekt auf?!?
Wenn die Überlegungen nicht stimmen, dann hab ich ein noch größeres Problem, dann weiß ich nämlich nicht mehr weiter.
Wie sieht das denn bei 2) aus?

Wäre super, wenn mir jemand ganz schnell antworten würde, es eilt ein bissl.

Danke!
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 185
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 22:10:   Beitrag drucken

Hi Eva,
du hast fast recht. Um es technisch sauber zu machen, solltest du noch eine Konstante C einführen, z.B. C=a_n0/b_n0. Dann hast du mit C*b_n tatsächlich eine konvergente Majorante zu den a_n. Das C brauchst du, weil du in deiner Voraussetzung nur die Verhältnisse hast, nicht die absoluten Größen.
Die 2 geht ganz entsprechend.
Das mit dem mathematisch korrekten Aufschreiben ist insofern schwierig, weil es davon abhängt, was ihr an Sätzen kennt und benutzen könnt.
a_n <= C*b_n für alle n>=n0 kannst du jedenfalls mit Induktion aus der Voraussetzung beweisen.
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 588
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 22:47:   Beitrag drucken

Hallo,

das Quot-kriterium ist ein sehr schwaches Kriterium; denn f. alle n aus IN gilt

n/(1+n) < 1 und dennoch ist die Reihe divergent;

a<n+1>/a<n> < 1 <-- möglicherweise konvergent
a<n+1>/a<n> = 1 <-- unbestimmt
a<n+1>/a<n> > 1 <-- auf jeden fall divergent

zusätzlich muß die folge der reihenglieder eine nullfolge sein;

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*

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