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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3142
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 19:35: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe 128 kommt wieder einmal eine Kugelaufgabe zum Zug:
Gegeben sind zwei Kugeln
k1: Mittelpunkt M1(2/2/2), Radius r1 = 2
k2: Mittelpunkt M2(1/1/1), Radius r2 = 2
Durch den Schnittkreis c der beiden Kugeln lege man eine von k1
verschiedene Kugel k*, welche die (x,y)-Ebene berührt.
Man ermittle den Mittelpunkt M* und den Radius r* von k*
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3150
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 14:35: |
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Hi allerseits
Ein vager Hinweis soll weiterhelfen!
Am besten ist es, die oft verschmähte, verkannte
oder auch unbekannte Methode der Kugelbüschel
einzusetzen.
Seien K1 und K2 die linken Seiten der auf null
gebrachten Gleichungen der Kugeln k1, k2.
Das von den beiden Kugeln bestimmte Kugelbüschel,
d.h. die Gesamtheit der durch ihren Schnittkreis c gehenden
Kugeln, eben das Kugelbüschel, hat dann die Gleichung
K1 + t * K2 = 0; dabei ist t ein reeller Parameter.
Man kann die Rechnung dadurch etwas vereinfachen,
dass man statt K2 eine Linearform L(x,y,z) einsetzt;
L entsteht als linke Seite der auf Null gebrachten Gleichung
der Potenzebene der beiden Kugeln.
Aus der Schar der Kugeln des Büschels wird diejenige Kugel
ausgewählt, welche die gegebene Bedingung erfüllt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3177
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 18:11: |
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Hi allerseits
Es ist bezeichnend für den Notstand im Fach Geometrie des Raumes
dass diese Aufgabe nicht bearbeitet wird.
Daher zeige ich einen möglichen Lösungsweg selber.
Gleichungen der Kugeln:
k1: K1 = x^2 + y^2 + z^2 – 4x – 4y – 4z + 8 = 0
k2: K2 = x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 2y – 2z - 1 = 0
Durch Subtraktion entsteht die Potenzebene der beiden Kugeln:
E = x + y + z - 9/2 = 0
Gleichung der Kugelschar (t als Parameter):
K1 + t* E = 0, also:
x^2 + y^2 + z^2 – 4x – 4y – 4z + 8 + t * (x + y + z - 9/2) = 0
Schnitt der der allgemeinen Kugel der Schar mit der (x,y)-Ebene:
Setze z = 0
Schnittkreis c in der (x,y)-Ebene:
c : x^2 + y^2 – 4x – 4 y +8 + t x + t y - 9/2 t = 0 oder
[ x – ½ (4 - t) ] ^ 2 + [ y – ½ (4 - t) ] ^ 2 = ½ (t+t^2)
Forderung: Die ausgewählte Kugel berührt die (x,y) -Ebene
-> c ist ein Nullkreis (Radius null) !
Die Bedingung lautet: t + t^2 = 0
Wesentliche Lösung t = -1 gibt die gesuchte Kugel mit der
Gleichung:
(x - 2,5)^2 + (y – 2,5)^2 + (z – 2,5)^2 = 2,5^2
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NB
t = 0 ergibt die gegebene Kugel k1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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