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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3141
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 19:24: | 
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Hi allerseits
Es folgt die Aufgabe LF 127.
Man beweise:
Die Schnittkurve c der beiden Flächen im R3
z ^ 2 = 16 x – 16
z ^ 2 = 8 z – 16 y
ist eine ebene Kurve.
Man berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von c
mit der Kugel x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 976
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 18:20: |
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Hi megamath,
kann es sein, das die Schnittkurve c eine Parabel ist? Wenn ja dann bin ich mit a) fertig!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3153
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 20:02: |
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Hi Ferdi,
Das ist richtig
Weiter so !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 977
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 20:48: |
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Hi,
also hier meine Lösung zu a), mal sehen ob sie stimmt, denn irgendwie gelingt es mit nicht Aufgabteil b) zu lösen!
z^2 = 16x - 16
z^2 = 8z - 16y
Wir eliminieren z aus den beiden Gleichung! Wir setzen hierzu z = sqrt(16x - 16), wir erhalten nach einiger Umformung:
x^2 + y^2 + 2xy - 2y - 6x - 20 = 0
Diese Quadrik beitzt kein Mittelpunkt, das heißt grad(F(x))=0 hat keine Lösung! Wir berechnen nun ihre Eigenwerte:
Charak. Polynom: T^2 - 2T = 0
Eigenwerte T = 0 , T' = 2!
Da ein Eigenwert null ist liegt eine Parabel vor!
Nur wie kann ich nun die Schnittpunkt von Kugel und Parabel berechnen?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3155
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 21:41: |
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Hi Ferdi
Zur Fortsetzung:
Ermittele die Gleichung der Ebene E, in der unsere Kurve liegt.
Resultat: 2 x + 2y – z = 2.
Parametrisiere die Kurve
Beginn:
z =4 t (oder z = tau)
Damit entsteht der Reihe nach
y = 2 t – t^2
x = t^2+ 1
Schneide damit die gegebene Kugel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 978
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 16:48: |
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Hi megamath,
wie man auf die Ebene kommt ist mir noch klar. Aber dann...wie kommst du auf die Idee der Paramatrisierung? Und wie auf die Gleichung für x, y und vorallem z?
Sie erfüllen zwar alle die Ebenengleichung, aber wenn ich die Wert ein die Kugelgleichung einsetze erhalte ich nur t=0 als Lösung.
Handelt es sich eigentlich hier um den Schnitt zweier Parabolischer Zylinder?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3161
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 17:37: |
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Hi Ferdi
Du hast richig geschlossen !
Es gibt nur einen gemeinsaman Punkt
zw.Kurve / Kugel
(es findet Berührung statt).
Mehr darüber morgen, heute Abend muss ich mich dem St.Niklaus stellen und an einem
Essen mit geladenene Gästen teilnehmen.
Hoffentlich geht alles gut !
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 980
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 19:13: |
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Hi,
Berührung also, naja, da bin ich aber mal gespannt!
Habt ihr den heute schon Nikolaus? Bei uns ist es der 6.12. und ich habe immer wieder Angst eine Rute zu bekommen  ...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3164
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 08:50: |
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Hi Ferdi
Auch bei uns ist traditionsgemäß der 6.12. der
Nikolaus –Tag.
Ein paar Tage zuvor ist Hauptprobe; es werden die notorisch
schwierigen Fälle vorweggenommen.
Dazu wurde auch ich aufgeboten; es lief noch glimpflich ab.
Der Hauptvorwurf ging dahin, dass meine Aufgaben aus der
Geometrie zu trivial seien; so nicht, hieß das Machtwort!
Ich will mich bessern!
Zur Sache.
Deine Fragen und meine Antworten:
Es handelt sich tatsächlich um parabolische Zylinder.
Parametrisierung; Ansatz: freie Wahl von z als Parameter,
also z = tau.
Das setzen wir ein in
z ^ 2 = 8 z – 16 y -> y = ½ tau – 1/16 (tau)^2
und
z ^ 2 = 16 x – 16 - > x = 1/16 (tau)^2 + 1.
Wir sehen, dass ein Parameterwechsel tau = 4 t
besonders geeignet ist.
Es kommt:
x = t^2 + 1
y = 2 t – t^2
z = 4 t
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3165
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 09:06: |
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Hi Ferdi
Wir schneiden die Kugel x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1
mit der Parabel
x = t^2 + 1
y = 2 t – t^2
z = 4 t
Wir erhalten eine Gleichung vierten Grades in t:
t^4 – 2 t ^3 + 11 t^2 = 0 oder
t^2 ( t^2 – 2 t + 11 ) = 0
Die Gleichung hat genau zwei reelle Lösungen,
die als Doppellösung erscheinen:
t1 = t2 = 0
Die Kurve berührt im Punkt (1/0/0) die Einheitskugel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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