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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3134
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 19:26: | 
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Hi allerseits
Lockere Folge 126.
Diese neue Aufgabe handelt von einer parametrisch
dargestellten Raumkurve.
Sie lautet:
Man beweise, dass die mit Hilfe des Parameter t
gegebene Raumkurve
x = - t + 2t^2
y = - 2 t + t^s
z = 2 t + 2t^2
eben ist; man zeige, dass eine Parabel vorliegt
und ermittle deren Parameter p.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3139
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 08:24: |
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Hi allerseits
Hinweise zur Lösung der Aufgabe LF 126.
Es gibt verschiedene Methoden für den Nachweis,
dass die Kurve eine ebene Kurve ist.
1.
Der Parameter t lässt sich vollständig eliminieren;
übrig bleibt eine lineare Gleichung in x, y , z .
2.
Bezeichnet man die ersten Ableitungen der Funktionen
x=x(t), y = y(t) , z = z(t) nach t mit Punkten °,
so sind
x°,y°,z° die Komponenten des Tangentenvektors u,
den wir cum grano salis als Geschwindigkeitsvektor
deuten können.
Fassen noch die zweiten Ableitungen x°°, y°°, z°°
zu einem Beschleunigungsvektor a zusammen !
Man stellt leicht fest, dass das Vektorprodukt der
Vektoren u und a nicht von t abhängt.
Daraus ziehen wir unsere Schlüsse !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3140
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 09:24: |
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Hi allerseits
Hinweis für die Ermittlung des Parameters p der Parabel.
Man bekommt die durch die Parameterdarstellung gegebene
Kurve in den Griff, wenn man ein neues Koordinatensystem X,Y,Z
einführt, das der Kurve bestens angepasst ist.
Die dazu notwendige orthogonale Transformation kann
so initiiert werden:
Die neue x-Achse, bezeichnet als X-Achse, wird in die Tangente
im Nullpunkt O des alten Koordinatensystems gelegt.
O wird gleichzeitig zum Nullpunkt des neuen Systems.
Die Y –Achse liegt zu X senkrecht in der Ebene E der Kurve.
Daraus ergeben sich die Z-Achse und die zugehörigen
Transformationsgleichungen.
Nach erfolgter Transformation der Kurvengleichung
lassen sich die geometrische Daten der Parabel leicht ablesen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3147
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 10:32: |
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Hi allerseits
Ein weiterer Hinweis ist angebracht!
Die Gleichung der Ebene E, in der die Kurve liegt, lautet:
- 2x + 2y + z = 0
Herleitung mit den genannten Methoden;
Bestätigung durch Einsetzen der Werte x(t),y(t),z(t):
die Gleichung von E ist identisch erfüllt.
Ableitungen:
x°(t) = -1+4 t , y°(t) = - 2 + 2 t ; z(t) = 2 + 4t
Tangenteneinheitsvektor I in O ; setze t =0:
I = 1/3{-1;-2;2}
I dient als Basiseinheitsvektor der neuen x-Achse, die wir
als X-Achse bezeichnen.
Als Basiseinheitsvektor K der neuen z-Achse, die Z-Achse heisst,
dient der Normaleneinheitsvektor von E :
K = 1/3{-2;2;1}
Der Basiseinheitsvektor J der neuen Y-Achse ergibt sich als Vektorprodukt:
J = K x I = 1/3 {2;1;2)
Mit Hilfe dieser Basiseinheitsvektoren basteln wir die orthogonale
Transformationsmatrix, die uns die Abbildungsgleichungen liefern wird.
Dazu folgt später – wenn nötig - eine kleine Hilfe!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3162
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 07:21: |
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Hi allerseits
Ich zeige jetzt, wie man mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitungen
der Funktionen x(t), y(t), z(t) nach t nachweist, dass die gegebene
Kurve des R3 eben ist.
Erste Ableitungen: Vektor u = {x°;y°;z°} = {2t;2-2t;4}
Zweite Ableitungen: Vektor a = {x°°;y°°;z°°} = {2;-2;0}
Vektorprodukt n = u x a = {8;8;-4} = 4*{2;2;-1}, unabhängig von t !
Wir haben einen Normalenvektor der Kurvenebene erhalten.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3163
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 07:46: |
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Hi allerseits
Der orthogonalen Drehmatrix, deren Herstellung
in meiner vorletzten Arbeit angedeutet wurde,
entnimmt man die folgenden Gleichungen,
mit denen die alten Koordinaten x, y, z
durch die neuen Koordinaten X, Y , Z
ausgedrückt werden:
x = -1/3 X + 2/3 Y – 2/3 Z
y = -2/3 X + 1/3 Y + 2/3 Z
z = 2/3 X + 2/3 Y + 1/3 Z
Ersetze darin x , y , z durch die Parametergleichungen
der gegebenen Kurve.
Dadurch entsteht die Parameterdarstellung derselben Kurve im
angepassten, neuen System.
Zwischenresultat:
- X + Y = - 3 t + 3 t ^ 2
X + 2 Y = 3 t + 6 t ^ 2
Eliminiere t und alles kommt so ans Licht!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3176
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 15:43: |
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Hi allerseits
Im neuen (X,Y,Z)-Koordinatensystem lautet die Gleichung der Parabel:
Y = X^2/3, daraus liest man für den Parameter p den Wert ab:
p = 3/2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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