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Matrizen von linearen Abbildungen zu ...

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Fraggy (Fraggy)
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Benutzername: Fraggy

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 16:46:   Beitrag drucken

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen, das auch schon versucht, möchte jetzt aber gerne wissen, ob ich das so überhaupt lösen kann. Angeblich ist das nur mit dem Basiswechsel möglich, aber den habe ich noch nicht ganz verinnerlicht, kann mir den evtl. nochmal jemand erklären?!?

Aufgabe:
Betrachte die linearen Abbildungen

f:R³->R^4, (x_1, x_2, x_3) -> (x_1+2x_2, x_2-3x_3)
g:R²->R^4, (x_1, x_2) -> (x_1+2x_2, 0, 0, x_2)

Berechne die zu f, g, g kringel f gehörigen Matrizen bzgl. der Basen
B={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} des R ³,
C={(1,-1),(1,1)} des R ²
und der Standardbasis D des R^4.

Lösung:
zu f gehörige Matrizen:

f(1,0,0)=(1,0)=0,5*(1,-1)+0,5*(1,1)
f(1,1,0)=(3,1)=1*(1,-1)+2*(1,1)
f(1,1,1)=(3,-2)=2,5*(1,-1)+0,5*(1,1)

=> _B M(f)_C =
0,5 1 2,5
0,5 2 0,5

zu g gehörige Matrizen:

g(1,-1)=(-1,0,0,-1)=(-1)*(1,0,0,0)+0*d_2+0*d_3+(-1)*(0,0,0,1)
g(1,1)=(3,0,0,1)=3*(1,0,0,0)+0*d_2+0*d_3+1*(0,0,0,1)

=>_C M(g)_D =
-1 3
0 0
0 0
-1 1

zu (g kringel f) gehörige Matrizen:

g kringel f(1,0,0)=g(1,0)=(1,0,0,0)=1*(1,0,0,0)+0*d_2+0*d_3+0*d_4
g kringel f(1,1,0)=g(3,1)=(5,0,0,1)=5*(1,0,0,0)+0*d_2+0*d_3+1*(0,0,0,1)
g kringel f(1,1,1)=g(3,-2)=(-1,0,0,-2)=-1*(1,0,0,0)+0*d_2+0*d_3+(-2)*(0,0,0,1)

=> _B M(g kringel f)_D =
1 5 -1
0 0 0
0 0 0
0 1 -2

Stimmt das, was ich da gemacht habe? Bin mir da überhaupt nicht sicher... Wäre sehr nett, wenn ihr schnell antworten würdet, ich muß das morgen abgeben.

Danke Schön!
Fraggy
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 733
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 17:27:   Beitrag drucken

Sieht für mich ok aus,außer das es ganz am Anfang f:IR3->IR2 heißen muss
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1517
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 18:39:   Beitrag drucken

Die Matrix von g°f kannst du auch durch Multiplikation der Matrizen von g und f bestimmen. Ist dann auch gleichzeitig ne ganz gute Probe.
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Meysam (Meysam)
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Neues Mitglied
Benutzername: Meysam

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 14:03:   Beitrag drucken

Ich habe die folgende Aufgaben zu lösen und ich brauche dringend Ihre Hilfe!
1. in welchem Unterraum geht die Ebene
{(x)Element von R hoch 3 ; x+2y -3z=0}
y
z
bei der durch die Matrix A={2 0 1} bestimmten
-1 1 0
3 0 -1
Abbildung R hoch 3 ---R hoch 3 über?

2.Eine linerar Abbildung P: V--V heißt Projektion, wenn P hoch 2 = P gilt.

In V= R hoch 3 sei eine Abbildung
µ= (-1 -2 -2) definiert.
-1 0 -1
2 2 3
(a) Man zeige, dass µ eine Projektion ist
(b)Man bestimme den größten linearen Teilraum
U c R hoch 3 , für den µ(U)=U gilt.
(c)Man bestimme Kern (µ).

3.In R hoch 3 sei die übliche Basis e hoch (1)= {1}, e hoch(2) {0}, e hoch (3) = {0}gegeben.
0 1 0
0 0 1
Im Dualraum (R hoch 3)* :={ß:R hoch 3--R ß linear} seien die folgenden Funktionale gegeben:
ß1 (X):=X1 - X3
ß2 (x):=2*X1+2*X2 -X3 mit X=(X1,X2,X3)hoch T
ß3 (X):=-X1 +3*X2
Man bestimme eine Basis {a hoch(1),a hoch (2), a hoch (3)} von R hoch 3, für die gilt :ßi(a hoch (j))=µij (i, j=1,2,3)

4.
A=(aij; i,j=1,....,n) E K hoch nxn heißt obere Dreieck Matrix, falls aij=0 für i>j.
Zeigen Sie, dass die Mengen der oberen Dreiecksmatrizen einen Unterring von K hoch nxn bildet.

5.
Für welche ß element C ist die Matrix

A(ß)=[1 ß 0}
ß 1 ß
0 ß 1

regulär? Berechnen Sie ggf. die Inverse.

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