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Coldstone2509 (Coldstone2509)
Mitglied
Benutzername: Coldstone2509
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 13:20: | 
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Hallo Freunde kann einer mir bei dieser Aufgabe helfen.. Ich verstehe die Vollständige Induktion nicht...Bitte!
Für allen element der natürlichen Zahlen gilt: n über Summenzeichen unter Summenzeichen k=1, danach 2k =n(n+1)
a) Machen Sie sich noch einmal mit dem Summenzeichen vertraut, indem Sie diese Gleichung für n=4 ausschreiben. Wie würden Sie die Gleichung ohne Summenzeichen formulieren?
b) Beweisen Sie die Gleichung mittels vollständiger Induktion. Formulieren Sie dazu die Beweisschritte ganz genau, aber so knapp wie möglich.
c) Begründen Sie die Gleichung mit anderen Argumentationsmitteln auf mindestens zwei weitere Weisen.
d) Beweisen Sie:
n über Summenzeichen unten des Summenzeichens k=1 vor dem Summenzeichen k hoch 2 = n(n+1)(2n+1)/6 für alle n größer oder gleich 1 mit vollständiger Induktion.
mfg
Coldstone |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 727
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 15:04: |
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Also fehlt dir nur b) und d) ?
b)
Für n=1 ist die Aussage trivial. 2*1=1*2 (Induktionsverankerung)
Die Aussage sei für ein festgelegtes n bewiesen (Induktionsannahme), dann gilt auch (Induktionsschluss)
Sn+1 k=12k = Sn k=12k + 2(n+1) = n(n+1) + 2(n+1) = (n+2)(n+1) q.e.d
Das Beweisprinzip der Induktion beruht darauf, eine Aussage für n+1 auf die selbe Aussage für n zurückzuführen. Damit ist klar, daß es genügt ein Anfangselement zu finden für das die zu beweisende Aussage richtig ist.
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 780
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 19:59: |
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--- Zitat ---
...
Damit ist klar, daß es genügt ein Anfangselement zu finden für das die zu beweisende Aussage richtig ist.
--- Zitat ---
Das genügt eben nicht! Wesentlich essentieller ist die Beweisführung, dass die Aussage auch für n+1 gilt, wenn die Richtigkeit für n vorausgesetzt ist. |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 730
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 00:40: |
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Das hatte ich doch geschrieben.
quote:Das Beweisprinzip der Induktion beruht darauf, eine Aussage für n+1 auf die selbe Aussage für n zurückzuführen.
Wenn man diese Rückführung auf n erreicht hat, muss man nur noch ein Anfangselement finden.
Das das Anfangselement alleine nicht reicht, ist ja wohl klar.
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