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Beitrag |
    
Emine (Emine)
Junior Mitglied
Benutzername: Emine
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 11:54: | 
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Kann einer mir die Aufgabe ausführlich lösen ich kann die vollständige Induktion nicht. Lese Büche mit beispielen kann es aber nicht auf die aufgabe beziehen.
a) Formulieren sie die Aussage mit mathematischer Symbolik und beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
Aussage: Die Anzahl der Diagonalen im n- Eck ist um n kleiner als die Anzahl aller Verbindungen der n Punkte untereinander.
- Wenn Sie die Aussage nicht formalisieren können (aber nur dann!!) , versuchen Sie es statt dessen mit: Die Anzahl derDiagonalen im n- Eck ist gleich n(n-3):2).
- Achten Sie auf eine sorgfaltige, aber knappe Formulierung Ihres Beweises (der hier nicht formelsprachlich vollzogen werden muss).
Würde mich freuen wenn Ihr die Aufgabe ausführlich rechnen könnt damit ich sie verstehe...
mfg
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1802
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 13:06: |
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mühsam unterdrücke ich Unflat gegen den Aufgabensteller.
Sollst
Du später Deinen Schülern auch solche Aufgaben stellen und deren Verstand knebeln?
Dass die Aussage stimmt ist doch sonnenklar:
"alle Verbindungen ..." enthalten ja auch die n
Seiten, die keine Diagonalen sind.
Aber gut:
v(n): Verbindungen
d(n): Diagonalen
Aussage: d(n) = v(n)-n
Anfang:
n=3: v(3) = 3, d(3) = 0 = v(n)-n stimmt
Annahme: v(n) - n = d(n) für n > 3
Schluss auf n+1:
v(n+1):
es kommen n Verb. hinzu, eine zu jedem bisherigem
Punkt
also v(n+1) = v(n)+n
d(n+1):
nur die Verb. zu n-2 Punkten sind (neue) Diagonalen aber eine der bisherigen Seiten wird
zur Diagonale
also d(n+1) = d(n)+ n-1
somit
v(n+1) - d(n+1) = v(n)+n - d(n)-n+1 = v(n)-d(n) +1
und
laut Annahme v(n)-d(n) = n
somit
v(n+1) - d(n+1) = n + 1
Da die Aussage für n=3 gilt, und wenn sie für n gilt auch für n+1 gilt ist sie somit für alle n > 2 gültig.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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