Autor |
Beitrag |
Tilly18 (Tilly18)
Junior Mitglied Benutzername: Tilly18
Nummer des Beitrags: 10 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 11:07: |
|
Hallo, ich habe Probleme mit den folgenden Aufgaben: Eine Kurve gamma ist gegeben: x = ( t - sint) ; y = (1-cost) (Zykloid) Mit 0<=t <=pi Berechung von Länge und Schwerpunkt. Die Länge kenne ich. Sie beträgt L = 4. Der Schwerpunkt ist zu berechnen mit x0 = (1/L)(Integral über gamma von x dgamma) Für den Schwerpunkt bekomme ich S(4/3;4/3), was der Anschauung nach nicht stimmen kann. Ich schätze, das Ergebnis müsste eher bei 2 für x und etwas unter 1 für y liegen. Wer kann mir helfen? Außerdem ist eine Vektorfeld mit F = (x+3y, y+3x) gegeben und zwei Punkte A(1,1) und B(2,3). Gamma soll der Weg von A nach B sein. Berechne ( Integral über gamma von F ) langs der Strecke AB und längs den Achsenparallelen Strecken zwischen den beiden. Für die achsenparallelen Strecke erhalten ich unterschiedliche Werte, müssen die nicht gleich sein? Ich hoffe, meine Formeln sind verständlich und bdanke mich im Voraus, Tilly18
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 720 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 15:07: |
|
Tilly, Zur ersten Aufgabe: Für die Bogenlängenfunktion s(t) gilt (rechne nach !) s'(t) = (x'(t)2+y'(t)2)1/2 = 2 sin (t/2), daher L = 2*ò0 p sin (t/2) dt = 4. Die Schwerpunktskoortdinaten sind xS = (1/L)*ò0 p x(t) s'(t) dt, yS = (1/L)*ò0 p y(t) s'(t) dt. Eine Stammfunktion für das erste Integral ist 2*(3 sin (t/2) - 2 t cos (t/2) + (1/3) sin (3t/2)), und das ergibt XS = 4/3. Prüfe ebenso nach, dass 2*(-3 cos(t/2) + (1/3) cos (3t/2)) eine Stammfunktion für das 2. Integral ist. Das liefert yS = - 4/3.
mfG Orion
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 721 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 16:02: |
|
Tilly, Zur 2. Aufgabe: Eine Parameterdarstellung der Strecke AB ist offenbar x = x(t) = 1+t , y = y(t) = 1+2t , 0 £ t £ 1. Das Wegintegral von F über AB ist daher I1 = ò0 1 [(x+3y)x' + (3x+y)y'] dt = ò0 1 (12+17t) dt = 41/2. Längs der Parallelen zur x-Achse ist y=1, x'=1,y'=0. Längs der Parallelen zur y-Achse ist x=2, x'=0, y'=1. Das entsprechende Wegintegral ist daher I2 = ò1 2 (x+3) dx + ò1 3 (6+y) dy = 41/2 . Da es sich um ein Potentialfeld handelt, war I1 = I2 zu erwarten.
mfG Orion
|
Tilly18 (Tilly18)
Junior Mitglied Benutzername: Tilly18
Nummer des Beitrags: 11 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 17:06: |
|
Vielen Dank für deine Hilfe Orion. |
|