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Kurvenintegrale

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Tilly18 (Tilly18)
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Junior Mitglied
Benutzername: Tilly18

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 11:07:   Beitrag drucken

Hallo,

ich habe Probleme mit den folgenden Aufgaben:

Eine Kurve gamma ist gegeben: x = ( t - sint) ; y = (1-cost) (Zykloid)
Mit 0<=t <=pi

Berechung von Länge und Schwerpunkt.

Die Länge kenne ich. Sie beträgt L = 4.

Der Schwerpunkt ist zu berechnen mit

x0 = (1/L)(Integral über gamma von x dgamma)

Für den Schwerpunkt bekomme ich S(4/3;4/3), was der Anschauung nach nicht stimmen kann. Ich schätze, das Ergebnis müsste eher bei 2 für x und etwas unter 1 für y liegen. Wer kann mir helfen?

Außerdem ist eine Vektorfeld mit F = (x+3y, y+3x) gegeben und zwei Punkte A(1,1) und B(2,3).
Gamma soll der Weg von A nach B sein.

Berechne ( Integral über gamma von F )
langs der Strecke AB und längs den Achsenparallelen Strecken zwischen den beiden. Für die achsenparallelen Strecke erhalten ich unterschiedliche Werte, müssen die nicht gleich sein?

Ich hoffe, meine Formeln sind verständlich und bdanke mich im Voraus, Tilly18


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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 720
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 15:07:   Beitrag drucken

Tilly,

Zur ersten Aufgabe:

Für die Bogenlängenfunktion s(t) gilt (rechne nach !)

s'(t) = (x'(t)2+y'(t)2)1/2 = 2 sin (t/2),

daher

L = 2*ò0 p sin (t/2) dt = 4.

Die Schwerpunktskoortdinaten sind

xS = (1/L)*ò0 p x(t) s'(t) dt,

yS = (1/L)*ò0 p y(t) s'(t) dt.

Eine Stammfunktion für das erste Integral ist

2*(3 sin (t/2) - 2 t cos (t/2) + (1/3) sin (3t/2)),

und das ergibt XS = 4/3.

Prüfe ebenso nach, dass

2*(-3 cos(t/2) + (1/3) cos (3t/2))

eine Stammfunktion für das 2. Integral ist. Das liefert
yS = - 4/3.


mfG Orion
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 721
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 16:02:   Beitrag drucken

Tilly,

Zur 2. Aufgabe:

Eine Parameterdarstellung der Strecke AB ist offenbar

x = x(t) = 1+t , y = y(t) = 1+2t , 0 £ t £ 1.

Das Wegintegral von F über AB ist daher

I1 = ò0 1 [(x+3y)x' + (3x+y)y'] dt

= ò0 1 (12+17t) dt = 41/2.

Längs der Parallelen zur x-Achse ist y=1, x'=1,y'=0.
Längs der Parallelen zur y-Achse ist x=2, x'=0, y'=1.

Das entsprechende Wegintegral ist daher

I2 = ò1 2 (x+3) dx + ò1 3 (6+y) dy = 41/2 .

Da es sich um ein Potentialfeld handelt, war
I1 = I2 zu erwarten.

mfG Orion
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Tilly18 (Tilly18)
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Junior Mitglied
Benutzername: Tilly18

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 17:06:   Beitrag drucken

Vielen Dank für deine Hilfe Orion.

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