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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 906
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 18:01: | 
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Aufgabe:
Sei p eine Primzahl und n Element N mit
2=<n=<p-1 .
Zeige: Der Binomialkoeffizient [p über n] ist durch p teilbar.
Eigentlich dachte ich wäre die Aufgabe relativ leicht, wenn man nur die Definition des Binomialkoeffizienten anwendet, aber irgendwo bei der Aufgabe muss doch ein Hacken sein oder?
Ich würde mich über Lösungsansätze freuen!
Vielen Dank im Voraus!
mfg
Niels |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1757
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 21:03: |
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nimm die Definition p(p-1).../n!
Dass
der Koeff. ganzzahlig ist braucht ja
nicht mehr gezeigt zu werden.
UND:
ist den irgendeiner der Nennerfaktoren
mit p kürzbar?
Wenn nicht, bleibt p eben ein Faktor des
Koeff.
(Beitrag nachträglich am 22., November. 2003 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 907
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 09:52: |
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Hallo Friedrich,
von welcher Definition redest du eigentlich?
Der Binomialkoeffizientdefinition lautet doch
[p über n]=p!/[n!*(p-n)!] und da ja p!=(p-1)!*p ist dachte ich wäre die Aufgabe einfach, den dann ist p immer Teiler von [p über n] die Frage ist nur ob ich so argumentieren darf, den schließlich ist ja p eine Primzahl und Primzahlen müssen ja nicht aufeinander folgen, zwischen ihnen gibt es ja Lücken, oder ist das egal?
mfg
Niels |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1759
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 10:15: |
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ich meine die äquivalente Schreibweise
k = [p über n] = p*(p-1)...(p-n+1)/n!
eineseits ist k sicher ganzzahlig, andererseits
ist
wegen 1 < n < p
keiner der Faktoren 1,2,...n aus n! durch p teilbar, das p bleibt nach dem vollständigem Kürzen des k also im Zähler stehen, somit muss
k durch p teilbar sein.
Ich
nehme an mit der nächsten Folgerung aus diesem Sachverhalt, daß für ganzzahlige a,b und Primzahl p
gilt
(a+b)^p kongruent a^p + b^p mod p
gilt
wirst Du auch bald konfrontiert werden.
(Beitrag nachträglich am 23., November. 2003 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 908
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 10:38: |
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Hi Friedrich,
mal sehen ob ich deine argumentation verstanden habe:
k=[p über n]= p*(p-1)*...*(p-{n-1})/n! ganzalig
warum ist er den ganzzahlig?
wegen 1<n<p ist n! nicht durch p teilbar (Bei der Aufgabenstellung stand ein kleiner gleich Zeichen, ist das wichtig oder unerheblich?)
n!*k=p*(p-1)*...(p-(n-1))
der die rechte Seite offensichtlich durch p teilbar ist muss auch das Produkt links vom Gleichheitszeichen durch p Teilbar sein, da der Faktor n! des Produktes nicht durch p teilbar ist (laut voraussetzung) muss k also der Binomialkoeffizient durch p teilbar sein! und das war zu beweisen.
ist das so richtig?
mfg
Niels |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1760
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 11:00: |
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ja, richtig.
---------
für ganzzahlige p,n gilt
2 kleinergleich n ist äquivalent zu 1 < n
n kleinergleich p-1 ist äquiv. zu n < p
---------
die Ganzzahligkeit der Bi.koff. ergibt sich z.b.
aus der Ganzzahligkeit der Koeff. von (a + b)^n
für natürliche n .
Ist das auf Unilevel nicht voraussetzbar ?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 909
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 11:47: |
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Hi Friedrich,
vielen Dank nochmal!
Ist das auf Unilevel nicht voraussetzbar ?
Doch natürlich, aber man muss sich ja auf dumme Fragen der Übungsgruppenleiter gefasst machen, und das wäre warscheinlich so eine dumme Frage...
also vielen Dank nochmal für deine Hilfe Friedrich!
mfg
Niels}
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