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Stufen der Unendlichkeit

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Coldstone2509 (Coldstone2509)
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Junior Mitglied
Benutzername: Coldstone2509

Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 14:02:   Beitrag drucken

Hallo;
Sind folgende Mengen alle verschieden groß? Oder sind einige davon gleich groß? Inwiefern? Denken Sie nach, recherchieren und diskutieren Sie.
Menge der natürlichen Zahlen: {1, 2, 3, ...}
Menge der natürlichen Zahlen mit 0: {0, 1, 2, 3, ...}
Menge der rationalen Zahlen (Bruchwerte): {42, 1/2, -2, -356/43, ...}
Menge der reellen Zahlen: {1, -42, 4,53463, -43/942, Pi, Wurzel(2), ...}

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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 885
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 14:44:   Beitrag drucken

Hi!

Vielleicht hast du schon mal etwas von Abzählbarkeit gehört.
Die ersten drei Mengen sind abzählbar. Das heißt, man kann alle Elemente in einer bestimmten Reihenfolge auf(ab)zählen.

Man kann zeigen, dass N und N0 gleichmächtig sind, indem man eine bijektive Abbildung n wie Nachfolger definiert:
n: N0 -> N mit n(i) = i+1
Die Umkehrabbildung wäre dann v wie Nachfolger:
v: N0 -> N mit v(i) = i-1

Man sieht also, dass man jedem Element von N eindeutig eines aus N0 zuordnen kann und umgekehrt, also haben beide Mengen dieselbe Mächtigkeit.

Für die rationalen Zahlen gibt es das Verfahren, die rationalen in einem quadratischen Schema anzuordnen und dann diagonal abzuzählen, indem man jeder natürlichen Zahl eindeutig eine rationale Zahl zuordnet.
Man kann aber auch von dem Satz ausgehend, dass die Vereinigung abzählbar vieler abzählbar mächtiger Mengen selbst wieder abzählbar ist, argumentieren, dass man Q als eine solche Vereinigung ansehen kann, womit diese Menge dann abzählbar wäre.

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar, also größer als jede einzelne der obigen Mengen. Dies lässt sich mit dem Cantorschen Diagonalverfahren zeigen, dass mit einer bestimmten Dezimalbruchentwicklung arbeitet. Dazu findet man bestimmt etwas im Internet.


MfG
Martin
________
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei

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