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Tommyd (Tommyd)
Neues Mitglied
Benutzername: Tommyd
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. November, 2003 - 15:59: | 
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Hallo, wer kann mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen:
a) Es sei n>=2 ganz. Beweisen Sie mit Hilfe der Eulerschen Formeln die Gleichung:
2^(n-1) *Produkt(k=1 bis n-1) sin(kpi/n) = n
und folgern Sie mit Hilfe des Satzes von Wielandt die Multiplikationsformel von Gauß und Legendre:
gamma(z)*gamma(z+1/n)*...*gamma(z+(n-1)/n) = (2pi)^[(n-1)/2]*n^(1/2-nz)*gamma(nz)
und die Multiplikationsformel für die Sinusfunktion:
sin(npiz) = 2^(n-1)*sin(piz)*sin(pi(z+1/n))*...*sin(pi(z+(n-1)/n)).
b) Für jedes a>=0 gilt:
Integral(von a bis a+1) log(gamma(x)) dx = 1/2*log(2pi) + alog(a) - a.
(Hinweis: Schreiben Sie das Integral als Limes von Riemannschen Zwischensummen) |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 694
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. November, 2003 - 18:37: |
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Tommyd,
Hier eine kleine Initialzündung:
Nach Euler gilt
2i*sin(kp/n) =
exp(kpi/n) - exp(-kpi/n)=
exp(kpi/n)*[1 - exp(-2kpi/n)].
Die Zahlen exp(-2kpi/n) , k=1,...,n-1
sind genau die von 1 verschiedenen n-ten Einheitswurzeln, also die Nullstellen von
f(z) = zn-1+zn-2+...+z+1. Daher
prod[k=1,n-1](z-exp(-2kpi/n) = f(z) =>
prod[k=1,n-1](1-exp(-2kpi/n) = f(1) = n.
Ferner
prod[k=1,n-1]exp(kpi/n) = exp[(n-1)pi/2]
= in-1.
Damit ist die Produktformel bewiesen.
mfG Orion
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Tommyd (Tommyd)
Neues Mitglied
Benutzername: Tommyd
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 12:09: |
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Danke für Deine Hinweise, sie werden mir sicherlich weiterhelfen. |
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