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Spezi (Spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Spezi
Nummer des Beitrags: 253
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 20:31: | 
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Hallo,
hier ist eine Standardaufgabe zu endlichen Körpern, ich bekomme sie aber einfach nicht hin.
Es sei K ein endlicher Körper mit n Elementen.
a) Man zeige, dass die Charakteristik von K nicht 0 sein kann.
b) Man zeige, dass n*1 = 0.
c) Man zeige, dass die Charakteristik von K ein Teiler von n ist.
Mein Vorwissen:
- ich weiß, was ein endlicher Körper ist
- ich weiß, was eine Charakteristik ist
- ich weiß, dass die Charakteristik eines Körpers immer 0 oder eine Primzahl ist
Vielen Dank für die Hilfe!
Tamara |
Spezi (Spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Spezi
Nummer des Beitrags: 255
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. November, 2003 - 19:31: |
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Eine Teilaufgabe??
Oder ein TIPP??
Ich glaube, die Aufgabe ist einfach, wenn man weiß, wie!
Danke für jede Hilfe! |
Spezi (Spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Spezi
Nummer des Beitrags: 265
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. November, 2003 - 18:55: |
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Die 1 und die 0 bei der b) sind übrigens Körperelemente aus K. Hilft das weiter? |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 915
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 20:15: |
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An einer "nachträglichen Lösung" dieser Aufgabe wäre ich brennend interessiert.
Also hat einer eine Lösung anzubieten, auch wenn "Spezi" sie vieleicht nicht mehr braucht.
mfg
Niels
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1520
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 22:16: |
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a)
Da der Körper endlich, können nicht alle Elemente
1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ..., n*1, ...
verschieden sein. Sei etwa k*1 = m*1 mit k > m. Dann ist (k - m)*1 = 0. |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1521
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 22:49: |
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b)
Die Funktion f: K -> K mit f(x) = x + 1 ist injektiv.
Da K endlich, ist somit f bijektiv.
Daher
S a aus K a = S a aus K f(a)
Es folgt
0
= S a aus K f(a) - S a aus K a
= S a aus K (f(a) - a)
= S a aus K (a + 1 - a)
= S a aus K 1
= n*1
(Beitrag nachträglich am 01., Dezember. 2003 von zaph editiert) |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1522
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 23:02: |
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c)
Ab jetzt zur Unterscheidung: I = Einselement aus K
Es sei p (prim) die Charakteristik von K. D. h. p*I = 0.
Wenn p kein Teiler von n, dann ggT(p,n) = 1.
Ergo gibt es ganzzahlige a, b mit ap + bn = 1.
Dann
I
= 1*I
= (ap + bn)*I
= ap*I + bn*I
= a*(p*I) + b*(n*I)
= a*0 + b*0
= 0 + 0
= 0
Widerspruch zu I != 0 |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 916
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 18:56: |
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Hi Zaph,
vielen Dank für die Lösung dieser Aufgabe!
mfg
Niels |
