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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3000
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 07:54: | 
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Hi allerseits
In der neuen LF – Aufgabe 96 sollen
zur Feier meines Beitrages Nr. 3000 in ZR 
die Kreisschnitte eines Ellipsoids gesucht werden.
Gegeben sei das Ellipsoid mit der Gleichung
x^2 / 25 + 7 * y ^ 2 / 256 + z ^ 2 / 16 = 1,
die Halbachsen sind also
a = 5 ; b = 16 / wurzel(7) ~ 6,05 ; c = 4 ;
a ist somit die mittlere Halbachse.
Wir suchen eine Ebene E, welche durch die x-Achse
geht und das Ellipsoid in einem Kreis vom Radius
R = a = 5 schneidet.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 693
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 10:35: |
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Hallo Megamath,
Der Normaleneinheitsvektor der Ebene |E ist
n = ± (0,p,q)t , p2+q2 = 1.
Daher definieren die Vektoren
u = (1,0,0)t und v = (0,q,-p)t
ein rechtwinkliges Koordinatensystem in
|E, und |E hat die Parameterdarstellung
|E : r = s u + t v .
Setzt man dies in die Ellipsoidgleichung ein, so
erhält man die Gleichung der Schnittkurve in den
rechtwinkligen Koordinaten s,t :
s2/a2
+ [(b2p2+c2q2)/b2c2] t2 = 1.
Ein Kreis mit R=a ergibt sich genau dann, wenn
b2p2 + c2q2 = (bc/a)2.
Das ergibt
p = ± (c/a)*sqrt[(b2-a2)/(b2-c2)],
q = ± (b/a)*sqrt[(a2-c2)/(b2-c2)]
Im Zahlenbeispiel: p = 3/5 , q = 4/5.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3005
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 12:15: |
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Hi Orion,
auf eine allgemeine Lösung der Aufgabe,
dazu in dieser Kürze und Eleganz, war ich nicht gefasst;
besten Dank.
Als Kontrast werde ich meine Lösung etwas später ebenfalls
ins Netz stellen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3014
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. November, 2003 - 12:15: |
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Hi allerseits
Die folgende Lösung stammt aus dem ZR-Archiv.
Die entsprechende Aufgabe wurde bereits im
Februar 2002 gestellt und gelöst!
Lösung
Es genügt, die Gleichung einer ersten solchen
Ebene E1 zu finden;
die andere Diametralebene E2 ergibt sich daraus
durch Spiegelung an der (x,z)-Ebene.
Von E1 ermitteln wir zunächst die Schnittgerade s (Spur)
in der (y,z)-Ebene.
Daher verlegen wir unsere Tätigkeit ganz in diese
Koordinatenebene (Aufrissebene).
Die Gleichung dieser Ebene lautet x = 0.
Setzen wir in der Gleichung des Ellipsoids x = 0,
so entsteht die Schnittellipse des Ellipsoids mit der
(y,z) – Ebene; wir bezeichnen diese Kurve mit e .
Die Gleichung von e lautet:
7 * y ^ 2 / 256 + z ^ 2 / 16 = 1.....................................(1)
Jetzt zur Hauptsache:
Wir suchen auf e einen Punkt K(y/z) so, dass sein Abstand
vom Mittelpunkt O der Ellipse e gerade mit dem Radius
R = a = 5 übereinstimmt.
Die gesuchte Ebene E1 ist dann durch den Punkt K und
die x-Achse bestimmt.
Die Abstandsbedingung lautet:
KO = 5 ; durch quadrieren entsteht:
y ^ 2 + z ^ 2 = 25........................................................(II)
Wir lösen das Gleichungssystem (I),(II) nach y , z auf
und berücksichtigen nur positive Lösungen;
Resultat : y = 4 , z = 3 , somit K( 4/3 )
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Die Gerade s durch O und K hat als Ursprungsgerade
die Gleichung
z = ¾ * y oder bruchfrei :
3 y – 4 z = 0………………………………………………………………………..(III)
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Da die Ebene durch s geht und senkrecht zur (y-z) - Ebene
steht, ist die zuletzt angeschriebene Gleichung (III)
gleichzeitig die Gleichung der gesuchten Ebene E1,
welche das Ellipsoid in einem Kreis vom Radius R = 5
schneidet.
Die Aufgabe ist damit gelöst.
Zum Abschluss und zur Kontrolle ermitteln wir willkürlich
einen Punkt P(u/v/w), der sowohl auf dem Ellipsoid als auch
auf der Ebene E1 und damit auf dem Schnittkreis liegt; für
den Abstand d dieses Punktes vom Nullpunkt muss,wenn alles
mit rechten Dingen zugeht, gelten:
d = 5.
Wir wählen y = v = 2 ; aus der Ebenengleichung folgt
z = w = 3 / 2 .
Für x = u erhalten wir aus der Gleichung des Ellipsoids die Gleichung
4096 * x^2 + 11200 + 14400 = 102400
daraus x ^ 2 = 75 / 4 , x = 5/2 * wurzel (3)
Nun berechnen wir d^2 = u^2 + v^2 + w^2 ;
Wir erhalten d ^ 2 = 25 = R ^ 2 ,wie zu erwarten war !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Anm:
Die Parallelebenenscharen zu diesen beiden kreiserzeugenden
Diametralebenen erzeugen ebenfalls Kreisschnitte.
Die zu den Diametralebenen parallelen Tangentialebenen
berühren das Ellipsoid in den so genannten
Kreispunkten oder Nabelpunkten.
Ein dreiachsiges Ellipsoid (verschiedene Halbachsen)
besitzt somit 4 Nabelpunkte.
Ein solcher Nabelpunkt (Umbilicus) hat besondere
differentialgeometrische Eigenschaften bezüglich der
Krümmung, auf die ich nicht näher eingehen kann.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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