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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2993
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 18:25: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 95 lautet:
für das Paraboloid
9 y^2 + 25 z^2 = 450 x
bestimme man die durch den Scheitel
gehenden Kreisschnittebenen und die
zugehörigen Kreispunkte K.
Die Tangentialebene des Paraboloids
mit K als Berührungspunkt ist zu einer
Kreisschnittebene parallel
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2994
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 18:33: |
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Hihi
Unsere lockeren Vögel fliegen auch in Google!
Gib
Lochere Folge
 ein !
MfG
H.R.Moser,megamath
H.R.Moser,megaamth |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2997
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. November, 2003 - 09:04: |
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Hi allerseits
Vielleicht hilft die folgende Bemerkung weiter?
Es gibt zwei Ebenen mit der verlangten
Eigenschaft; sie stehen auf der (x,z)-Ebene
senkrecht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 931
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. November, 2003 - 16:48: |
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Hi megamath,
ich beschäftige mich schon länger mit dieser Aufgabe, leider komme ich zu keiner Lösung. Es kann aber auch am Mangelnden Verständniss der Aufgabestellung liegen...
Sind Kreisschnittebenen, solche Ebenen die das Parabolid in Kreisen schneiden? Ist der Scheitel hier S( 0 | 0 | 0 ) ? Dann müsste die Ebene die Form Ax + Bz = 0 haben.
Ist schon ziemlich lange her das wir solche Aufgaben gerechnet haben, da muss man erst mal wieder langsam reinkommen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2999
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. November, 2003 - 17:52: |
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Hi Ferdi
Ja, so ist es!
Es sind Ebenen gesucht, die durch O(0/0/0)
gehen und die Fläche in einem Kreis schneiden.
Die gesuchten Ebenen stehen auf der (x,z)-Ebene
senkrecht; ihre Gleichungen sind von der
Gestalt a x + b z = 0.
Empfehlung:
Arbeite mit Ausblick auf die (x/z) –Ebene,
erkenne darin die Parabel z^2 = 18 x.
Schneide diese Parabel mit der Ursprungsgerade
z = m x in den Punkten O und S.
Für ganz bestimmte Werte von m ist OS die
Projektion des gesuchten Kreises in die (x,z)-Ebene,
ihre Länge ergibt den Durchmesser des Kreises.
Beachte insbesondere auch den Mittelpunkt der
Sehne OS.
Nach einiger Rechnung findest Du m und alles
Andere.
Viel Erfolg
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 932
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. November, 2003 - 20:48: |
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Hi megamath,
meine Ebenen lauten:
E1 : 3x - 5z = 0
E2 : 3x + 5z = 0
Ich habe hierzu z = mx in die Paraboloidgleicung eingesetzt, Ergebnis:
25 m^2 x^2 + 9 y^2 = 450 x
(25/9) m^2 x^2 + y^2 = 50 x
Damit diese "Gebilde" ein Kreis wird muss die Konstante vor x^2 gleich eins sein!
25 / 9 m^2 = 1
m = +- 3/5
Man erählt sofort auch Radius, Durchmesser und Mittelpunkt!
(x - 25)^2 + y^2 = 625
M = ( 25 | 0 ) r=25 , d=50
Hoffe das stimmt so...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3001
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 08:11: |
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Hi Ferdi
Es gibt in unseren Resultaten einen kleinen Unterschied.
Ich führe meine Rechnung vor, nachher gehen wir in
aller Ruhe im stillen Kämmerlein auf die Fehlersuche.
z = m x einsetzen in z ^ 2 = 18 x
(Parabel als Schnitt der Fläche mit der (x,z)-Ebene.
Der von O verschiedene Schnittpunkt S hat die Koordinaten
xS = 18/m^2, zS = 18/m.
U sei der Mittelpunkt der Strecke OS; Koordinaten von U:
xU = 9/m^2, zU = 9/m.
Länge L der Strecke OU:
L^2 = 81/m^4 + 81/m^2 = 81/m^2 {1+1/m^2}, mithin
L = 9/m * sqrt (1+1/m^2}
Die positive y- Koordinate des Punktes U muss mit L
übereinstimmen; dann ist L der Radius r des Kreises,
den wir suchen:
(yU)^2 = 25 [2 x – z^2/ 9 )
mit z = zU = 9 / m ; x = xU = 9/m^2; yU = L
erhalten wir als Gleichung für m:
81/m^2{1+1/m^2} = 25 {18/m^2 – 9/m^2} oder
81/m^2{1+1/m^2} = 25 * 9/m^2
Daraus:
m^2 = 9/16
°°°°°°°°°°°°°
m1 = ¾
m2 = - ¾
°°°°°°°°°
m1 = ¾ liefert die Kreisebene 4z – 3x = 0
m2 = -¾ liefert die Kreisebene 4z + 3x = 0
Ermittlung der zur ersten Ebene parallelen Tangentialebene:
z^2 = 18 x implizit nach x abgeleitet:
2 z z ´=18
z ´= 9 / z gleich m (!)
aus 9 / z = ¾ folgt z = 12.
Der gesuchte Kreispunkt K auf dem Paraboloid hat die
Koordinaten
xK = 8, yK = 0 , zk = 12.
Die Koordinaten des zweiten Kreispunktes KK lauten:
(8 / 0 / - 12 ).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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