| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2978
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 17:47: | 
|
Hi allerseits,
Wir sagen der Gammafunktion vale !
Wir beginnen mit einer Serie Aufgaben zu den
Flächen zweiter Ordnung des R3, den so genannten
Quadriken.
Als Aufgabe LF 92 erscheint die folgende Aufgabe
Man weise nach, dass die Normalprojektion p jedes ebenen Schnittes
des Paraboloids z = a ( x^2 + y^2 ) , a > 0, auf die (x,y)-Ebene
ein Kreis ist.
Die Gleichung der Schnittebene sei Ax + By + Cz = D
Welche Relation muss zwischen den Konstanten A,B,C,D und a
bestehen, wenn der Radius des Kreises p null ist und p somit
einen Nullkreis darstellt ?
Mit ferundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2979
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 18:16: |
|
Hi allerseits
Die neue LF Aufgabe über das Paraboloid
trägt die Nummer 93 !
Viel Vergnügen bei der Lösung!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 927
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 20:59: |
|
Hi megamath,
eine nette neue Rubrik!
a)
Man eliminiere z aus der Ebenen als auch aus der Paraboloid Gleichung!
Ergebniss:
aCx^2 + aCy^2 + Ax + By = D
Es tritt kein gemischter Term (xy etc) auf! Also kann man hier mit quadratischer Ergänzung umformen, man muss sich nur durchbeissen:
{x + A/(2aC)}^2 + {y + B/(2aC)}^2 = {4aCD + A^2+ B^2} / {4 a^2C^2} ==> Kreis
Damit sich ein Nullkreis ergibt muss ja r^2, bzw r = 0 sein!
4aCD + A^2 + B^2 = 0 !
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2983
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 21:11: |
|
Hi Ferdi,
Eine recht schöne Herleitung der richtigen Bedingung !
Morgen geht´s mit einer neuen Aufgabe
über Quadriken weiter!
mfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2992
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 16:10: |
|
Hi allerseits
LF 93
Es folgt eine zweite Art der Herleitung der Relation,
welche die Konstanten A,B,C, D und a erfüllen müssen,
damit der ebene Schnitt einen Nullkreis erzeugt.
Lösungsidee: Wir fordern, dass die gegebene Ebene
einmeTangentialebene des Paraboloids sei.
Wir bilden die Funktion dreier Variablen Phi =Phi (x,y,z):
Phi(x,y,z) = a x^2 + a y ^2 – z ;
Der Gradient von Phi gibt uns eine Normalenvektor einer
Tangentialebene des Paraboloids:
Die Komponenten von grad (Phi) erhalten wir als partielle
Ableitungen von Phi nach x, nach y, nach z .
Diese Komponenten lauten der Reihe nach:
2ax ; 2ay ; -1 .
Die Gleichung der Tangentialebene T mit P1(x1/y1/z1) als
Berührungspunkt lautet demnach:
2 a x1 x + 2 a y1 y – z = constans
Die Konstante rechts beträgt z1, wie man der Beziehung
a x1 ^ 2 + a y1 ^ 2 = z1 entnimmt, die dadurch entsteht,
dass man die Koordinaten des Punktes P1 in die
Paraboloidgleichung einsetzt.
Die Gleichung von T lautet somit definitiv:
2 a x1 x + 2 a y1 y – z = z1
Diese Gleichung stellt gleichzeitig die vorgelegte Ebene E
mit der Gleichung
A x + B Y + C Z = D dar, genau dann, wenn die Koeffizienten
von x , y , z und das konstante Glied rechts proportional sind.
Aus dieser Forderung entspringen die Gleichungen:
2 a x1 / A = 2 a y1 / B = - 1 / C = z1 / D
Wir lösen nach x1, y1 , z1 auf
x1 = - A /( 2 a C)
y1 = - B /( 2 a C)
z1 = - D / C
Diese Werte setzen wir in die Paraboloidgleichung ein
Es entsteht die gesuchte Relation:
- D / C = a A^2 / (4a^2 C^2) + a B^2 / (4a^2 C^2), also:
4 C D a + A ^ 2 + B ^ 2 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
wie früher.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 929
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 17:04: |
|
Hi megamath,
sehr schön!
Eine Lösung für Kenner und Geniesser des Faches! An den Gradienten hab ich nicht gedacht. Da hast du mal wieder tief in der Trickkiste gewühlt!
mfg |
|
