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Stylar (Stylar)
Neues Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 15:41: | 
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Hab ein Problem mit der folgenden Aufgabe, ich weiß nicht, wie ich das alles beweisen soll!
Es sei p eine Primzahl, d.h. teilt p ein Produkt von ganzen Zahlen, so teilt es bereits einen der Faktoren. Beweise:
1.) Durch
m~n <=> m-n ist durch p teilbar
wird eine Äquivalenzrelation auf Z definiert.
2.) Es sei Fp die Menge der Äquivalenzklassen dieser Relation. Die Äquivalenzklasse, die die ganze Zahl m enthält, werde mit [m] bezeichnet. Die Vorschrift [m]+[n]=[m+n] definiert eine Abbildung +: Fp x Fp ->Fp.
Die Vorschrift [m]*[n]=[m*n] definiert eine Abbildung *: Fp x Fp ->Fp.
3.) Mit diesen Verknüpfungen wird Fp ein Körper.
Bei 1.) und 2.) weiß ich gar nicht, was ich zeigen soll. Da bei 3.) ja der Verknüpfungsbeweis aus 2.) angewendet werden kann, muß dann doch nur noch gezeigt werden, dass Fp neutrale und Inverse Elemente besitzt, oder? Und wie?
Wäre toll, wenn das jemand mit Erklärung lösen könnte.
Danke,
Stylar |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 184
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 20:35: |
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Hallo Stylar,
du hast doch in der Vorlesung bestimmt gelernt, was eine Äquivalenzrelation ist: eine Relation, die die folgenden 3 Bedingungen erfüllt
1. Reflexivität: m ~ m
2. Symmetrie: m ~ n Þ n ~ m
3. Transitivität: m ~ n Ù n ~ k Þ m ~ k
Nun gut, in Aufgabe 1 sollst du genau das zeigen.
1. m - m = 0 und damit gewiss durch p teilbar.
2. Wenn m - n durch p teilbar ist, dann auch
n - m = -(m - n)
3. m - n sei durch p teilbar, n - k auch.
Es gilt m - k = m - n + n - k = (m - n) + (n - k)
Nun sind beide Summanden durch p teilbar, damit aber auch die gesamte Summe.
(Fortsetzung folgt)
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 185
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 21:19: |
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zu 2.
Es muss doch nur nachgewiesen werden, dass das Ergebnis der Zuordnungen +: ([m],[n])->[m+n] und
*: ([m],[n])->[m*n] existiert und dass die Zuordnung eindeutig ist. Beides ist aber doch durch die Existenz und die Eindeutigkeit der Addition und der Multiplikation in Z gegeben. Oder sieht das jemand anders?
Zu 3.
Aufgrund des Beweises in 2. ist das Assoziativgesetz der Addition und der Multiplikation gezeigt (Abbildungen sind immer assoziativ). Allerdings fehlen noch der Nachweis der Kommutativität (m.E. trivial wegen der Kommutativität von + und * in Z), das Distributivgesetz (ebenso) und dann die von dir angesprochenen Bedingungen bzgl. der neutralen und inversen Elemente. Hier dürfte höchstens die Existenz des inversen Elements bzgl. der Multiplikation Schwierigkeiten machen, da m ja aus Z sein muss.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 186
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 21:21: |
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Ein neutrales Element dürfte [0] bzw. [1] sein, ein inverses Element bzgl. der Addition [-x]. Für die Multiplikation fällt mir allerdings z.Z. nichts ein.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Stylar (Stylar)
Neues Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 17:16: |
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Danke für deine Hilfe. Sicherlich hatte ich in der Vorlesung "gelernt", was eine Äquivalenzrelation ist. Ich hab nur nicht verstanden, wie man das dann auf eine Aufgabe anwendet. Z.B. wäre ich im Leben nicht darauf gekommen, dass m~m auf diese Aufgabe angewandt "m - m = 0 und damit gewiss durch p teilbar" ergibt. Darin lag dann nämlich das größte Problem.
Aber so langsam kommt Licht in das Dunkel!
Gruß,
Stylar |
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