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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2939
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 08:02: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 88 ist eine Verallgemeinerung
von LF 87.
Die Relation x ^ p + y ^ p = 1 stellt eine geschlossene
Kurve c dar
( p ist eine gegebene positive Konstante).
Man beweise: der Flächeninhalt A des von c
eingeschlossenen Gebietes beträgt:
A = 2 / p *[ GAMMA (1/p) ] ^ 2 / GAMMA (2/p)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 919
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 14:08: |
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Hi megamath!
Eine nette Aufgabe! Nach bestandener LKW-Fahrprüfung(ich habe jetzt die Fahrerlaubnissklasse BCE), mal wieder mathematisch arbeiten:
x^p + y^p = 1
Umformen: y= [1 - x^p]^(1/p)
Wir berechnen das Integral dieser Funktion im I.Quadranten, von null bis 1, wir gleichen durch multplizieren mit 4 aus (Symetrie)!
4* ò0 1 [1 - x^p]^(1/p) dx
Substitution
x=w^(1/p) ==> dx = (1/p) * w[(1/p)-1] dw
(4*)/p*ò0 1 w^[(1/p)-1]*[1 - w]^(1/p) dw
Die entspricht dem Betafunktion für B( [1/p] , [(1/p)+1] )
nun bringe ich die Gammafunktion ins Spiel:
B( [1/p] , [(1/p)+1] ) = {G(1/p)*G([1/p]+1)}/G([2/p]+1)
Das lässt sich mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gammafunktion überführen zu:
G^2(1/p)/2*G(2/p)
Insgesamt also:
4* ò0 1 [1 - x^p]^(1/p) dx
= 2/p * G^2(1/p) / G(2/p) q.e.d.
Dies Formel lässt sich nun ganz schön auf die LF 86 anwenden! Das diese Formel stimmt erkennt man, wenn man p=2 setzt. Es ensteht der Einheitskreis x^2 + y^2 = 1 ! Flächeninhalt ist pi!
Die Formel gibt uns:
2/2 * G^2(1/2) / G(1) = pi ! Voila!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2948
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 14:15: |
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Hi Ferdi
Meine Gratulationen für Beides:
Führerschein für LKW und Bewältigung der Aufgabe
LF 88 und damit auch der LF 87
Besten Dank für die Herleitung!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 921
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 16:51: |
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Hi megamath,
Besten Dank für deine Gratulation!
Es ist reizvoll die Aufgabe noch mehr zu verallgemeinern!
Man bestimme den Flächeninhalt den die von der Relation x^p + y^p = a^p bestimmten Kurve einschliesst.
Ergebniss:
(2*a^2/p) * G^2(1/p)/G(2/p)
Hier erhält man für p=2 den Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius a, sein Flächeninhalt pi*a^2! Man erhält das selbe durch dies wunderbar mysteriöse Formel!
Weiß man auf wen sie zurück geht, wer sie gefunden hat?
mfg
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