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Niliz (Niliz)
Junior Mitglied
Benutzername: Niliz
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 20:10: | 
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Hi!
Wie löse ich folgende DGL allgemein?
z' = (1/x)*z-x^2
Die Lösung ist: z = x/2 *( c-x^2)
Ich komme nur nicht auf die Lösung :-)
Danke im voraus
Grüsse Moni |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2933
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. November, 2003 - 09:33: |
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Hi Mona,
Eine Vorbemerkung:
Die vorliegende Dgl ist keine eigentliche
BERNOULLIsche Differentialgleichung.
Die allgemeine Form einer solchen Dgl lautet
(y als abhängige Variable):
y´+ P(x) y + Q (x) y ^ m = 0 , wobei der
Exponent m von null und eins verschieden
sein soll, ansonsten die Gleichung linear ist.
Ein Vergleich mit der von Dir vorgelegten
Gleichung zeigt: m = 0.
Deine Dgl lautet in der vergleichbaren Form:
y´ - 1/ x * y + x ^ 2 = 0 mit
P(x) = - 1/ x , Q(x) = x ^ 2 , m = 0
Lösungsgang
Homogene Gleichung:
z´ = 1 /x * z
Trennung der Variablen:
dz / z = dx / x, allg lösung:
z = c * x
Zur Auflösung der inhomogenen Gleichung verwenden
wir die Methode der Variation der Konstanten,
d.h. in z = c x sei jetzt c variabel;
wir setzen
z = c(x) * x
dann wird wegen der Produktregel
z´ = c´ x + c
Das setzen wir in die gegeben Dgl. ein; es kommt:
c´ x + c = 1 / x * c x – x ^ 2, vereinfacht:
c´ = - x, eine Dgl für c(x).
Mit k als Integrationskonstante entsteht:
c = - ½ x^2 + k, somit
z = x ( - ½ x^2 + k ) oder mit K = 2 k
z = ½ x (K – x^2) wie von Dir angekündigt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Pendragon (Pendragon)
Junior Mitglied
Benutzername: Pendragon
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 17:54: |
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@megamath
Zitat:" y´ - 1/ x * y + x ^ 2 = 0 mit
P(x) = - 1/ x , Q(x) = x ^ 2 , m = 0 "
aber m ist hier nihct null ;-)
Gruß
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