| Autor |
Beitrag |
    
Niliz (Niliz)
Junior Mitglied
Benutzername: Niliz
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 18:54: | 
|
Hi!
Wie kann ich mit Hilfe des Satzes für den Schwerpunkt von Flächen beweisen, dass der Schwerpunkt des Halbkreises bei: 4*r/(pi*3) liegt?
ys = 1/A Integral (y*dA)
Wie muss ich hier dA wählen?
Danke im voraus.
Grüsse Moni |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1641
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 21:03: |
|
Guldinsche Regel über das Volumen von Rotationskörpern:
V = A*2a*pi
wobei A die Rotierende Fläche und a der Abstand
des Schwerpunktes von der Rotationsachse ist.
Durch
Rotation des Halbkreises um seinen Druchmesser
"entsteht" ein Kugelvolume V = 4r³pi/3
( wie's schon die alten Griechen ohne Integralrechung herausfanden )
es
muss also 4r³pi/3 = A*2a*pi, a = 2r³/(3A) gelten,
mit
A = r²*pi/2, also a = 4*r/(3pi)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2922
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 22:37: |
|
Hi Nililiz
Du möchtest gerne eine Herleitung mittels
Integral sehen ?
Da muss ich eine Rückfrage stellen:
kennst Du Dich mit Doppelintegralen aus ?
Ansonsten zeige ich dir morgen eine Herleitung mit einem einfachen Integral.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2926
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 08:03: |
|
Hi Moni
Ich versuche, Dir auf verschiedene Arten die Berechnung des Schwerpunktes
der Halbkreisfläche mit Integralen vorzuführen.
Die von Dir gewählten Bezeichnungen sollen weiter verwendet werden,
insbesondere dies:
ys = 1/A Integral (y*dA)
Es gilt A = ½ Pi r^2 (Halbkreisfläche).
Es wird sich zeigen: Integral J = Integral (y*dA) = 2/3 r^3 , so dass
ys = 4r / (3Pi) entsteht.
1.Methode
Mit Doppelintegral, Flächenelement, df = dx * dy
Ich schreibe dieses Doppelintegral gemäß Maple so:
J = int(int(y,y=0..sqrt(r^2-x^2)),x=-r..r);
Oder so:
J = int [dx [int [y dy]],
Grenzen des inneren Integrals 0 bis y.
Grenzen des äußern Integrals – r bis r.
Somit, nach Erledigung des innern Integrals mit ½ y^2:
J = ½ int [y^2 dx] Grenzen – r bis r
Wir ersetzen sofort y^2 durch ( r^2 – x^2 ) gemäß Kreisgleichung ;
wir erhalten schließlich für die genannten Integrationsgrenzen –r, r:
J = ½ int [(r^2 – x^2) dx] = 2/3 r^3.
Eine zweite , einfachere Methode folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2927
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 08:40: |
|
Hi Moni,
Die Aufgabe soll nun mit einem einfachen Integral gelöst werden.
Als Flächenelement dF dient uns ein Streifen im Halbkreis,
der zur x Achse parallel ist mit der Breite dy und der Länge 2x,
df = 2x dy; gemäß der Kreisgleichung x^2 + y^2 = r^2 können
wir auch schreiben
df = 2 sqrt (r^2 – y^2)* dy
Der Abstand des Streifens von der x-Achse ist y.
Somit bekommen wir im Zähler für ys:
J = int [y * 2 sqrt (r^2 – y^2) * dy],
untere Grenze y = 0, obere Grenze y = r.
Das Integral lässt sich auf verschiedene Arten ausrechnen,
zum Beispiel, indem man y = r sin t substituiert oder anderswie.
Jedenfalls kommt wiederum
J =2/3 r^3.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2928
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 13:08: |
|
Hi Mona,
Um den Umgang mit den Flächenelementen
weiter zu üben, bestimmen wir mit Hilfe der Polarkoordinaten
den Schwerpunkt S eines Kreissektors vom Radius R
und Zentriwinkel alpha.
Wir platzieren den Sektor so, dass der Mittelpunkt M mit dem
Nullpunkt O des rechtwinkligen Koordinatensystems (x,y)
zusammenfällt und die Symmetrieachse des Sektors in die
positive x-Achse fällt.
Die Endpunkte P und Q des Bogens der Länge b haben dann die
Polarkoordinaten R, alpha bezw. R, – alpha.
Ein beliebiger Punkt auf dem Kreisbogen hat die Polarkoordinaten
R und phi, der Winkel phi läuft dabei von – alpha bis alpha.
Punkte im Inneren: r , phi in denselben Schranken.
Die Länge des Bogens ist b = R * 2 alpha,
die Fläche A = ½ b * R = R^2 * alpha,
Winkel alpha im Bogenmaß.
Der Schwerpunkt S liegt aus Symmetriegründen auf der x-Achse
Wir berechnen mit Hilfe eines Integrals seine Abszisse xS.
Das entsprechende Flächenelement ist
df = r dr d(phi)
°°°°°°°°°°°°°°
wegen x = r cos(phi) steht unter dem Doppelintegral als
Integrand r cos(phi) r dr d(phi) = r^2 cos(phi)*dr *d(phi)
Im Nenner für den Term xS steht die Fläche A, im Zähler
Das Doppelintegral
JJ=int [int [ r^2 cos(phi)*dr * d(phi)]]
inneres Integral: untere Grenze r = 0 bis r = R
äusseres Integral: phi = - alpha bis phi = alpha.
In Maple-Schreibweise:
JJ=int(int((r^2*cos(phi),phi=-alpha,..alpha),r=0..R);
Resultat: JJ= 2/3 R^3 sin(alpha), daraus
xs = 2/3 R sin (alpha) / alpha
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
setzt man nun alpha = 90°, so wird der
Sektor zum Halbkreis, und wir gewinnen
sofort das bekannte Resultat
xS = 2/3 R / ½ Pi = 4 R / (3 Pi)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2932
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. November, 2003 - 08:43: |
|
Hi Mona,
Ich frage mich,ob Du meine Arbeiten zu Deiner Frage nicht studiert hast.
Ich habe eigenllich eine Antwort auf meine Gegenfrage bezüglich
der Mehrfachintegrale erwartet
oder auch ein Dankeschön.
Wenn Reaktionen ausbleiben,schwindet der Elan,
Dir auf künftige Fragen zu antworten.
MfG
H.R.Moser,megamath
|
|
