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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 894
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 15:21: | 
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Hi Leute,
Aufgabe ist folgende:
Sei a eine bijektive Abbildung von der Menge M in die Menge L, dann existiert ebenfalls eine bijektive Abbildung von P(M) in P(L).
meine Argumentation sieht folgendermaßen aus:
wenn eine bijektive Abbildung von M in L existiert, so sind die Mengen gleichmächtig, d.h sie besitzen jeweils gleich viele Elemente. Das bedeutet aber auch, das ihre Potenzmengen gleich viele Elemente enthalten müssen. Und dies wiederum impliziert eine bijektive Abbildung zwischen ihren Potenzmengen P(M) und P(L) so das jede Teilmenge von M als Element von P(M) einer Telmenge von L als Element von P(L) bijektiv zugeordnet werden kann.
Frage:
a) ist meine Argumentation richtig
b) wenn die Argumentation richtig ist, wie könnte ich das mathematisch am besten formulieren?
vielen Dank nochmal in Voraus!
mfg
Niels |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 132
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 22:20: |
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Hallo Niels,
deine Argumentation ist i.w. richtig, ich würde nur nicht von Anzahlen von Elementen reden, weil das nur für endliche Mengen Sinn macht. Die Bijektion von M in L induziert ganz kanonisch eine Abbildung zwischen den Potenzmengen, und die Bijektivität transportiert sich mit: Sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität folgen direkt aus der entsprechenden Eigenschaft der Bijektion von M in L |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 895
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 07:19: |
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Hi Sotux,
vielen Dank für deinen Kommentar. Aber kann ich das einfach so formulieren wie ich das oben gemacht habe?
Meine Argumentation ist ja wenig mathematisch. Auch wenn die Argumentation im Kern weitesgehend richtig sein sollte. Ich habe eben halt Probleme mit der Formalisierung meiner Argumentation. Könntest du mir dabei nochmal etwas helfen?
mfg
Niels |
Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 07:58: |
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Hallo Niels,
wenn f: M -> L die bijektive Abbildung von M nach L ist, dann definiert man einfach die Funktion F: P(M) -> P(L) durch F(A):= f(A) für jede Teilmenge A von M.
F ist eindeutig, denn aus A=B folgt F(A)=f(A)=f(B)=F(B) und ordnet jedem Element aus P(M) ein Bild zu. Also ist F eine Funktion.
Sei nun F(A)=F(B) => f(A)=f(B) => wegen der Injektivität von f: A=B. Also ist F auch injektiv.
Sei B Element von P(L). Dann folgt aus der Surjektivität von f: Es gibt eine Teilmenge A von M mit f(A)=B. Dann ist F(A)=f(A)=B. Also ist F auch surjektiv.
Gruß
Michael |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 896
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 18:31: |
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Hallo Michael,
vielen Dank für deine Hilfe!
mfg
Niels |
