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Toxical (Toxical)
Mitglied
Benutzername: Toxical
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 21:51: | 
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Hallo Leute,
Ich bin bei einem physikalischen Problem auf folgende DGL gestossen, die ich als Schüler leider nicht zu lösen vermag:
d²y/dx²=a-b(dy/dx)²
wobei a,b reelle Konstanten sind.
Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte.
Danke im Vorraus und gute Nacht |
Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 131
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 23:28: |
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y´´=a-b*(y´)2
Laut meinem Computer ist eine explizite Lösung in der Form y=f(x) gar nicht möglich. |
Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 01:15: |
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Hallo Toxical,
eine Lösung in expliziter Form ist möglich, aber nicht ganz einfach.
1. Schritt:
Wir setzen z(x)=y'(x) => z'(x)=a-b*z(x)^2.
2. Schritt:
Wir schreiben die obige DGL etwas anders:
z'(x)+0*z(x)+b*z(x)^2=a.
Dies ist eine sog. Riccatische DGL. Man kann sie auf eine sog. Bernoullische DGL, die dann explizit lösbar ist, zurückführen, wenn man eine spezielle Lösung erraten kann.
Offensichtlich ist aber z(x)=Wurzel(a/b) eine Lösung der obigen DGL.
3. Schritt:
Wir machen jetzt den allgemeinen Ansatz einer Lösung für die Riccatische DGL:
z(x)=Wurzel(a/b) + v(x) mit einer zu bestimmenden Funktion v.
Setzt man diesen Ansatz in die Riccatische DGL ein, multipliziert alles aus und beachtet, dass Wurzel(a/b) ja eine spezielle Lösung ist, so erhält man für v die folgende Bernoullische DGL:
v'(x)+2*Wurzel(ab)*v(x)=-b*v(x)^2.
4. Schritt:
Die Bernoullische DGL lässt sich durch den Ansatz v(x)=1/u(x) mit einer Funktion u auf eine lineare DGL zurückführen. Durch Einsetzen erhält man nämlich:
u'(x)-2*Wurzel(ab)*u(x)=b.
Die Lösung dieser inhomogenen linearen DGL findet man mit der sog. Methode der "Variation der Konstanten" von Lagrange (kann man nachlesen im Bronstein oder in Collatz: Differentialgleichungen). Die allgemeine explizite Lösung lautet:
u(x)=C*exp[2*Wurzel(ab)*x]-1/2*Wurzel(b/a) mit einer Integrationskonstanten C.
5. Schritt:
Alles wieder retour! Es ist ja y'(x)=z(x)=Wurzel(a/b)+v(x)=Wurzel(a/b)+1/u(x).
Setzen wir das gefundene u(x) ein, so erhalten wir
y'(x)=1/{C*exp[2*Wurzel(ab)*x]-1/2*Wurzel(b/a)} + Wurzel(a/b).
6. Schritt:
Durch Integration von y' erhält man schließlich die Lösung deiner DGL:
y(x)=
-Wurzel(a/b)*x +
1/b*ln{C*exp[2*Wurzel(ab)*x]-1/2*Wurzel(b/a)}
+ D
mit einer weiteren Integrationskonstanten D.
Ich habe mir einmal die Mühe gemacht, diese Lösung in deine DGL einzusetzen. Es geht tatsächlich auf!
Jetzt interessiert mich aber noch, welches physikalische Problem auf diese DGL führt.
Viele Grüße und eine gute Nacht
Michael |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 680
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 08:35: |
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Toxical,
Ich nehme mal an, dass a,b > 0 sind. Setzen wir nun
y' =: w, und k := sqrt(a/b)so lautet die Dgl.
w' = b*(k2 - w2) <=>
w'/(k2 - w2) = b <==>
(1/2k)*w'/{1/(k+w)+1/(k-w)} = b <==>
w'/{1/(k+w) + 1/(k-w)} = 2kb = 2 sqrt(ab).
(Dies ist eine sog. Dgl. mit getrennten Variablen.)
Rechne nach, dass die linke Seite gleich
(d/dx){ln(k+w)-ln(k-w)} = (d/dx)ln{(k+w)/(k-w)} ist.
Daraus folgt durch Integration
ln{(k+w)/k-w)} = 2 (sqrt(ab)x + C) <==>
(k+w)/(k-w) = exp{2 (sqrt(ab)x+C)} =: exp[2*(g(x)]
Dies wird nach w aufgelöst :
w = k*[1- exp(2g(x))]/[1+exp(2g(x)] = -k*tanh(g(x))
Das lässt sich leicht integrieren, denn
(d/dx) cosh(cx) = c*tanh(cx).
Prüfe das mal alles nach. Ich hoffe, dass ich mich
in der Eile nicht verrechnet habe.
mfG Orion
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Toxical (Toxical)
Mitglied
Benutzername: Toxical
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 17:38: |
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Hallo Aktuar und Orion, Danke für eure Beiträge.
Orion kann es sein, dass bei dir ein Fehler ist?
Müsste es nicht heissen
w'/(k2 - w2) = b <==>
(1/2k)*w'*{1/(k+w)+1/(k-w)} = b
statt
w'/(k2 - w2) = b <==>
(1/2k)*w'/{1/(k+w)+1/(k-w)} = b
also * statt / ??
Wenn dem so ist, geht es danach ja nicht mehr so gut weiter, oder?
Aktuar, deine Lösung habe ich einigermassen verstanden, aber es kommt eine lineare Funktion y heraus, was mit meinem Problem nicht übereinstummen kann, weches so aussieht:
Die bewegung eines Körpers auf einer schiefen ebene, die nur durch den Luftwiderstand gebremst wird.
Der Ludtwiderstand sei ~v²
dann ist die beschleunigung a
a = g*Sin(phi)-bv²
was sich in Abhängigkeit von s(t) doch so schreiben lässt
d²s/dt²=a-b(ds/dt)²
Diese Bewegung ist aber sicher nicht linear.
Wäre super. wenn mir jemand aus dieser Sackgasse heruas helfen könnte:-)
d²y/dx²=a-b(dy/dx)²
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Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 00:09: |
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Hallo Toxical,
ich denke, mit dem Ansatz von Orion kommt man sehr bequem und elegant zum Ziel. Ich führe das im Folgenden noch einmal aus, weil es bei Orion ein oder zwei Schreib-, keine Rechenfehler, gab. Dabei setze ich v=ds/dt.
Es ist dann v'/(k^2 - v^2)=b mit k = Wurzel(a/b). Daraus folgt v'/(k+v) + v'/(k-v) = 2kb.
Integration liefert ln(k+v) - ln(k-v) = 2kbt + C mit einer Integrationskonstanten C, also
ln[(k+v)/(k-v)] = 2kbt + C.
Hieraus ergibt sich (k+v)/(k-v) = exp(2kbt + C). Dies nach v aufgelöst, ergibt
v = k[exp(2kbt+C)-1]/[exp(2kbt+C)+1] =
k*tanh(kbt+C/2).
Für t->oo folgt hieraus im Übrigen das bekannte physikalische Ergebnis, dass v der Grenzgeschwindigkeit k entgegenstrebt (Fallschirmeffekt).
Der Weg s ergibt sich nun durch nochmalige Integration zu s = 1/b * ln[cosh(kbt+C/2)] + D mit einer weiteren Integrationskonstante D. Dies ist
s = 1/b * ln[exp(kbt+C/2) + exp(-(kbt+C/2))] -
1/b * ln(2) + D =
-1/b * (kbt+C/2) + 1/b * ln[exp(2kbt+C)+1] + E. Also ist schließlich
s = 1/b * ln[exp(2kbt+C)+1] - kt + F.
Die letzte Umformung führte auf eine Lösung in der Form, wie ich sie hatte. Ich bin allerdings nicht sicher, ob ich mich in meiner ursprünglichen Rechnung nicht irgendwo mit den Koeffizienten und Integrationskonstanten vertan habe.
C und F werden dann so gewählt, dass die physikalischen Anfangsbedingungen erfüllt sind. Also z. B. C=0, d. h. v=0 für t=0, und
F=-1/b * ln(2), d. h. s=0 für t=0.
Ich hoffe, jetzt kannst du mit der Lösung etwas anfangen.
Gruß
Michael |
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