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Beckx (Beckx)
Junior Mitglied Benutzername: Beckx
Nummer des Beitrags: 15 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 12:16: |
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Hi, bei der Aufgabe jetzt weiß ich nicht mal einen Ansatz. Hab sowas ähnliches schon mal in LinA gemacht aber komme trotzdem nicht weiter. Es sei f : Q -> Q (Q: Menge der rationalen Zahlen) eine Funktion mit der Eigenschaft f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x,y e Q. Zeigen Sie: Für alle r,s e Q gilt: r * f(s) = f(r * s) Danke für eure Hilfe. MFG Beckx |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 679 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 14:15: |
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Beckx, Vorschlag: Zeige zunächst durch vollst. Induktion bezgl. m e N0 f(mx)=m f(x) für alle x e Q. Speziell ist danach f(m) = m f(1). Mit x = 1/n (n e N) ist weiter f(1) = f(n*1/n)= n f(1/n) ==> f(1/n) = (1/n) f(1). Ist nun x = m/n e Q, so folgt f(x) = f(m/n) = m f(1/n) = (m/n)f(1) = x f(1) für alle x e Q. Daraus folgt speziell die Behauptung : f(rs) = rs f(1) = r(s f(1)) = r f(s).
mfG Orion
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Beckx (Beckx)
Junior Mitglied Benutzername: Beckx
Nummer des Beitrags: 17 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 14:09: |
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Hi Orion, Also: Für m e N0: Aussage A(x): Für alle x e Q gilt: f(m x) = m f(x) Induktionsanfang: A(1): f(m 1) = m f(1) <=> f(m) = m f(1) Aber das ist doch keine explizite Gleichheit?! Wie soll ich das denn zeigen? MFG Beckx
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 682 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 15:38: |
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Beckx, f(mx)=mf(x) zeigen wir f ü r f e s t e s x durch Induktion b e z ü g l i ch m , und nicht bezgl. x (das geht nicht, denn x e Q !). Ind.-Anfang: Aus der Funktionalgleichung folgt zunächst f(0) = 0. Also f(0*x) = f(0) =0 = 0*f(x). Ind.-Annahme: Für irgendein m >=0 gelte f(mx) = mf(x). Ind.-Behauptung : Für das genannte m ist f[(m+1)x] = (m+1)f(x) Ind.Schluss: f[(m+1)x] = f(mx + x) = f(mx) + f(x) (nach Funktionalgleichung) = mf(x) + f(x) (nach Ind.-Ann.) = (m+1)f(x). mfG Orion
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