Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Eigenschaften von Funktionen: "Linear...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Beweise » Eigenschaften von Funktionen: "Linearität" « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Beckx (Beckx)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Junior Mitglied
Benutzername: Beckx

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 12:16:   Beitrag drucken

Hi,

bei der Aufgabe jetzt weiß ich nicht mal einen Ansatz. Hab sowas ähnliches schon mal in LinA gemacht aber komme trotzdem nicht weiter.

Es sei f : Q -> Q (Q: Menge der rationalen Zahlen) eine Funktion mit der Eigenschaft f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x,y e Q. Zeigen Sie: Für alle r,s e Q gilt: r * f(s) = f(r * s)

Danke für eure Hilfe.

MFG

Beckx
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 679
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 14:15:   Beitrag drucken

Beckx,

Vorschlag:

Zeige zunächst durch vollst. Induktion bezgl. m e N0

f(mx)=m f(x) für alle x e Q.

Speziell ist danach f(m) = m f(1). Mit x = 1/n
(n e N) ist weiter

f(1) = f(n*1/n)= n f(1/n) ==> f(1/n) = (1/n) f(1).

Ist nun x = m/n e Q, so folgt

f(x) =

f(m/n) = m f(1/n) = (m/n)f(1) = x f(1)

für alle x e Q. Daraus folgt speziell die
Behauptung :

f(rs) = rs f(1) = r(s f(1)) = r f(s).



mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Beckx (Beckx)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Junior Mitglied
Benutzername: Beckx

Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 14:09:   Beitrag drucken

Hi Orion,

Also:

Für m e N0:
Aussage A(x): Für alle x e Q gilt: f(m x) = m f(x)
Induktionsanfang:
A(1): f(m 1) = m f(1) <=> f(m) = m f(1)

Aber das ist doch keine explizite Gleichheit?! Wie soll ich das denn zeigen?

MFG

Beckx

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 682
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 15:38:   Beitrag drucken

Beckx,

f(mx)=mf(x) zeigen wir f ü r f e s t e s x durch Induktion
b e z ü g l i ch m , und nicht bezgl. x (das
geht nicht, denn x e Q !).

Ind.-Anfang: Aus der Funktionalgleichung
folgt zunächst f(0) = 0. Also

f(0*x) = f(0) =0 = 0*f(x).

Ind.-Annahme: Für irgendein m >=0 gelte

f(mx) = mf(x).

Ind.-Behauptung : Für das genannte m
ist

f[(m+1)x] = (m+1)f(x)

Ind.Schluss:

f[(m+1)x] = f(mx + x)

= f(mx) + f(x) (nach Funktionalgleichung)

= mf(x) + f(x) (nach Ind.-Ann.)

= (m+1)f(x).
mfG Orion

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page