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Beckx (Beckx)
Junior Mitglied
Benutzername: Beckx
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 12:11: | 
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Hi,
tue mich unglaublich schwer mit der folgenden Aufgabe. Finde schon bei der ersten keine sinnvolle Umformung. Also:
Es sei n e N (Menge der natürlichen Zahlen) und k e N0. Zeigen Sie:
a) Das Produkt pi=1k von k aufeinander folgenden Zahlen ist in N durch k! (k Fakultät) teilbar.
b) (nk) * 1/nk £ 1/k!
((nk) = n über k)
c) (1 + 1/n)n £ Sn r=0 1/r! < 3
Wär super wenn ihr mir helfen könntet. Danke schon mal.
MFG
Beckx
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1624
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 13:01: |
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a) jede 2te ist durch 2, jede 3te durch 3
... teilbar
b) im Zähler des Bi.Koff. stehen die
k Faktoren
steht n*(n-1)*...(n-k+1)
die ausser n alle < n sind, für k > 1
ist also Zähler/n^k < 1,
und
da im Nenner k! steht, das Ergenis < 1/k!
c)
das ist
Summe( (n über k)/n^k, k=0 bis n)
und
in allen Summanden ausser für k=0
ist n^k > n*(n-1)*..(n-k+1),
also
n^k > Zähler( n über k) in dessen
Nenner k! steht.
Da
Die Summe für n -> oo zu e = 2,7... wird
ist
sie für endliche n erst recht < 3
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 678
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 13:35: |
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Beckx,
a) Sei a e N. Dann ist
a*(a+1)*(a+2)*...(a+k-1) = (a+k-1)!/(a-1)! =
k!*(a+k-1)!/(a-1)!k! = k!*binom(a+k-1,k).
b Wenn k =0 oder k=1, so gilt das =-Zeichen.Für k>=2 gilt
binom(n,k)/nk =
(1/k!)* n*(n-1)*...*(n-k+1)/nk =
(1-1/n)*(1-2/n)*...*[1-(k-1)/n]/k! < 1/k!
c) Nach dem binomischen Satz ist
(1+1/n)n = Sn r=0 binom(n,r)/nr
Nach b) lässt sich die Summe so abschätzen :
(1+1/n)n £ 2+ Sn r=2 1/r!.
Für r>=2 ist aber r! >= 2r-1, daher
Sn r=2 1/r! < S¥ r=2(1/2)r-1 = 1.
mfG Orion
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Beckx (Beckx)
Junior Mitglied
Benutzername: Beckx
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 13:51: |
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Hi Orion,
erstmal bedanke ich mich. Hast mir schon mal sehr geholfen. Ich komm allerdings noch nicht so richtig mit. Zu a hatte ich das:
pi=1k(n + i) = (n+1)*(n+2)*...*(n+k) = (n+k)!/n!
=> (n+k)!/(n!*k!) e N
Ich weiß nicht wo ich deine Umformung benutzen soll.
b) habe ich glaube ich jetzt verstanden:
Für k = 0:
binom(n,0) * 1/n0 = 1 * 1/1 = 1 und 0! = 1, daher 1 = 1.
Für k = 1:
binom(n,1) * 1/n1 = n * 1/n = 1 und 1! = 1, daher 1 = 1
Für k >=2:
binom(n,k) = 1/k! * n (n-1)*...*(n-k+1)
=> binom(n,k) * 1/nk = 1/k! * 1/nk * n (n-1)*...*(n-k+1)
n ausklammern:
binom(n,k) * 1/nk = 1/k! * 1/nk *[n*n*(1-1/n)*...*n*(1-(k+1)/n)]
//Wieso hast du k-1?
nk = n * n * ... * n und das ganze k-mal
=> binom(n,k) * 1/nk = 1/k! * 1/nk * nk (1-1/n)*...*(1-(k+1)/n)] = 1/k! * (1-1/n)*...*(1-(k+1)/n)
(1-1/n)*...*(1-(k+1)/n) ist aber kleiner 1 woraus dann folgt:
binom(n,k) * 1/nk = 1/k! * (1-1/n)*...*(1-(k+1)/n) < 1/k!
c)
Okay den ersten Schritt verstehe ich noch:
(1+1/n)n = Sn r=0 binom(n,r)/nr = Sn r=0 [ 1/r! * (1-1/n)*...*(1-(r+1)/n)]
Doch wie kommt jetzt deine Abschätzung zustande? Für "große" n geht (1-1/n)*...*(1-(r+1)/n) doch gegen 1 oder nicht?
Wär super wenn du mir nochmal auf die Sprünge helfen könntest!
MFG
Beckx
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 681
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 15:15: |
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Beckx,
a) Deine Umformung entsteht, indem du
in meiner a=n-1 setzt. Bis auf die Bezeichnung ist es dasselbe.
b) Oben und unten stehen - nach Kürzen des
Faktors n - noch k-1 Faktoren . Daher
heisst der Endterm [n-(k-1}]/n = 1 - (k-1)/n
c) In der endlichen Summe
Sn r=2binom(n,r)/nr
schätzen wir den r-ten Summanden nach
b) durch 1/r!, und dieses dann durch 1/2r-1
ab. Dann entsteht die endliche geometrische
Reihe
Sn k=2(1/2)r-1
= (1/2)*[1-(1/2)n-1]/(1-1/2) = 1 - (1/2)n-1
< 1.
Natürlich kann man die endliche Reihe
einfach durch die entsprechende unendliche Reihe abschätzen, das ist Geschmackssache.
mfG Orion
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Beckx (Beckx)
Junior Mitglied
Benutzername: Beckx
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 16:06: |
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Hi Orion,
wenn ich a=n-1 setze dann erhalte ich aus a*(a+1)*(a+2)*...(a+k-1):
n (n-1)*(n+1)*...*(n+k-2)
Ich sehe leider den Zusammenhang noch nicht. Ist das das gleiche wie:
[(n+1)*(n+2)*...*(n+k)]/k!
Und wenn ja warum?
b) Okay, verstehe ich jetzt.
c)
Benutzt du da irgendwie die Definition der geometrischen Reihe:
q e R, q ungleich 1:
Sn k=0qn= 1-qn+1/(1-q) oder wie kommt die Abschätzung 1/r! =etwa 1/2r-1 zustande?
Und woher kommt die 2 in:
(1+1/n)n £ 2+ Sn r=2 1/r!
Sorry aber irgendwie bin ich wohl zu blöde.
MFG
Beckx
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 683
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 08:31: |
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Beckx,
a) Also nochmal : Der 1. Faktor des fraglichen Produktes P sei mit a bezeichnet (bei dir heisst er n+1).
Erweitere nun P mit k!*(a-1)! =>
P = k!*(a-1)!*a(a+1)...(a+k-1)/k!(a-1)!
= k!*(a+k-1)!/k!(a-1)! = k!*binom(a+k-1,k).
Beachte, dass (a-1)!a(a+1)...(a+k-1) = (a+k-1)!
und dass
(a+k-1)!/k!(a-1)! = binom(a+k-1,k) = binom(a+k-1,a-1)
ganzzahlig ist.
c) Ich benutze die von dir zitierte Summenformel
(nicht die Definition !) der endlichen geometrischen
Reihe mit q =1/2. Der Summationsindex in der
ursprünglichen Reihe läuft von r=0 bis r=n.
Ich trenne die Terme r=0 und r=1 ab, das ergibt den
Beitrag 1+1=2. Für r>= 2 ist r! = 2*3*...*r >= 2*2*...*2
(r-1 Faktoren, alle >=2) >= 2r-1 ==>
1/r! £ 1/2r-1 .
mfG Orion
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