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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2886
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 06:43: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 77 sollen
wiederum orthogonale Trajektorien
ermittelt werden.
Die gegebene Schar liegt in
rechtwinkligen Koordinaten vor:
c x^2 + y ^2 = 1
Der Scharparameter c ist eine positive
reelle Zahl.
Man ermittle die Gleichung
der orthogonalen Trajektorien
in rechtwinkligen Koordinaten und
beurteile das Resultat.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2896
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 08:04: |
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Hi allerseits
Skizze einer Lösung der Aufgabe LF 77:
Bei der gegebene Kurvenschar mit c > 0 liegt
eine Schar von Ellipsen vor, die im
Streifen -1 < y < 1 liegen.
Herleitung der DGL der Ellipsenschar:
Wir bilden die Ableitung
2 c x + 2 y y´ = 0
Elimination von c ergibt
- y y´ x + y ^ 2 – 1 = 0
Darin ersetzen wir y´ durch - 1/ y´,
und wir erhalten die Dgl. der orthogonalen
Trajektorien:
x y + y^2 y´ - y´= 0 ,also
y´ = x y / (1 - y^2)
Lösung dieser Dgl durch Separation der Variablen
(1/ y - y) dy = x dx;
Integration mit a als Integrationskonstante:
ln y – ½ y^2 = ½ x^2 – ½ a ,
also:
ln y ^ 2 – y ^ 2 + a = x ^ 2
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Bedingung: a > = 1 , damit die Lösungen reell werden.
Es ist reizvoll, mit Maple die Kurvenscharen zeichnen
zu lassen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 282
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 17:26: |
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Hi Megamath,
Danke für den Lösungsweg,habe soeben nachgerechnet.
Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2900
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 21:15: |
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Hi Olaf
Das ist gut so!
Dank zurück.
MfG
H.R.Moser,megamath |
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