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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2885
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 21:46: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 76 soll wiederum eine
Aufgabe aus der „elementaren Algebra“ gelöst
werden:
Von der Gleichung fünften Grades in z
a z ^ 5 + b z + c = 0
weiss man, dass sie mit der Gleichung
x ^ 3 – 1 = 0 eine Lösung gemeinsam hat.
Zeige, dass die Koeffizienten a, b , c die
Relation
a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 – 3 a b c = 0
erfüllen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 676
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 14:42: |
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megamath,
wir schreiben
(1) az5+bz+c = az2(z3-1) + az2+bz+c
und beachten ferner die Identität
a3+b3+c3-3abc =
(a+b+c)(a2+b2+c2-bc-ca-ab).
Sei nun x die gemeinsame Lösung .
Ist x=1, so folgt a+b+c = 0. Andernfalls gilt
(2) x2+x+1 = 0
und nach (1)
(3) ax2+bx+c = 0.
Aus (2),(3) folgt durch Elimination von x
a2+b2+c2 - bc - ca - ab = 0
und damit die Behauptung.
(Beitrag nachträglich am 30., Oktober. 2003 von Orion editiert)
(Beitrag nachträglich am 30., Oktober. 2003 von Orion editiert)
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2892
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 15:14: |
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Hi Orion
Wiederum eine ganz schöne und
prägnante Lösung;
besten Dank.
MfG
H.R.Moser,megamath
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