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Tantor (Tantor)
Mitglied Benutzername: Tantor
Nummer des Beitrags: 44 Registriert: 04-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 18:09: |
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Hallo zusammen, folgende Aufgabe macht mir doch arges Kopfzerbrechen : Für eine Funktion f(x) gelte f(0)=0 und f'(0)>0; f genüge der DGL (f')^2 = 1 - f^2 Entwickeln Sie f um 0 in eine TRaylorreihe, ohne die DGL zu lösen. Meine Idee war : ao= 0; f'=Wurzel aus (1-f^2), => f'(0)=1 => a1 = 1 f'' bestimmen und festellen , dass a2 = 0 ist und behaupten alle anderen ai=0 und damit wäre dann meine Funktion f(x) = 0+1x aber irgendwie haut das ja nicht so ganz hin, kann mir wer helfen ???
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Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 127 Registriert: 09-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 20:35: |
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Das ist sehr mühsam: Die ersten hast du ja schon richtig ausgerechnet: a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 Mache den Ansatz: f = a0x0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+... f = x+a3x3+a4x4+a5x5+... Das leitest du ab, um f´ zu bekommen. f´2 = 1 - f2 0 = f´*f´ + f*f - 1 Da musst du deine Summen für f und f´ einsetzen und ausmultiplizieren (sehr mühsam) und nach Potenzen von x zusammenfassen. Dann erhältst du: 0 = x2*(6a3+1) + x3*(8a4) + x4*(9a32+2a3+10a5) + ... Daraus gewinnst du die Gleichungen: 0 = 6a3+1 0 = 8a4 0 = 9a32+2a3+10a5 a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = -1/6 a4 = 0 a5 = 1/120 Man sieht, dass die geraden Reihenglieder 0 sind und die ungeraden abwechselnd positiv und negativ: ±1/n! (Begründung: 3!=6, 5!=120) Die Reihe hat also die Gestalt: f(x) = x1/1! - x3/3! + x5/5! - x7/7! - + ... Das ist die Taylorreihe von sin x: f(x) = sin x werbungsfriedhof@hotmail.com |
Aktuar (Aktuar)
Mitglied Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 22 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 20:38: |
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Hallo Tantor, dein Ansatz war im Prinzip gar nicht so schlecht, er muss nur konsequent zu Ende geführt werden. Ich würde folgendermaßen vorgehen: f(x)^2 + f'(x)^2 = 1 => durch Ableitung: 2f(x)f'(x) = -2f'(x)f''(x). Für f'(x) =/ 0 folgt daraus f''(x) = - f(x). Erneute Ableitung liefert f'''(x) = -f'(x) und schließlich f''''(x) = -f''(x) = f(x). Insgesamt ergibt sich damit f_4k_'(0) = f(0) = 0 für alle natürliche Zahlen k (4., 8., 12., ... Ableitung) f_4k+1_'(0) = f'(0) = 1 für alle natürlichen Zahlen k (1., 5., 9., ... Ableitung) f_4k+2_'(0) = -f(0) = 0 für alle natürlichen Zahlen k (2., 6., 10., ... Ableitung) f_4k+3_'(0) = -f'(0) = -1 für alle natürlichen Zahlen k (3., 7., 11., ... Ableitung) Damit ist dann die Taylorentwicklung von f um 0 gleich f(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9! -x^11/11! +- ... Das ist die Taylorentwicklung der Sinusfunktion, für die ja auch gerade die Ausgangsbedingungen gelten. Gruß Michael |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2879 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 20:42: |
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Hi Tantor, Fange so an: aus f '^2 = 1 - f^2 folgt durch Ableiten 2 f´f´´ = - 2 f f´ also: f ´´ = - f Leite weiter ab. Berechne f´(0) = 1 , f´´(0) = 0 usw Bald erkennst Du die Funktion,insbesondere auch dann, wenn Du den Anfang der Taylorentwicklung hinschreibst. MfG H.R.Moser,megamath |
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