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Taylor mit Differenzialgelichung

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Tantor (Tantor)
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Mitglied
Benutzername: Tantor

Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 18:09:   Beitrag drucken

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe macht mir doch arges Kopfzerbrechen :

Für eine Funktion f(x) gelte f(0)=0 und f'(0)>0; f genüge der DGL
(f')^2 = 1 - f^2
Entwickeln Sie f um 0 in eine TRaylorreihe, ohne die DGL zu lösen.


Meine Idee war :
ao= 0;

f'=Wurzel aus (1-f^2), => f'(0)=1 => a1 = 1
f'' bestimmen und festellen , dass a2 = 0 ist und behaupten alle anderen ai=0 und damit wäre dann meine Funktion f(x) = 0+1x aber irgendwie haut das ja nicht so ganz hin, kann mir wer helfen ???
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Carpediem (Carpediem)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem

Nummer des Beitrags: 127
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 20:35:   Beitrag drucken

Das ist sehr mühsam:

Die ersten hast du ja schon richtig ausgerechnet:

a0 = 0
a1 = 1
a2 = 0

Mache den Ansatz:

f = a0x0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+...
f = x+a3x3+a4x4+a5x5+...

Das leitest du ab, um f´ zu bekommen.

2 = 1 - f2
0 = f´*f´ + f*f - 1

Da musst du deine Summen für f und f´ einsetzen und ausmultiplizieren (sehr mühsam) und nach Potenzen von x zusammenfassen. Dann erhältst du:

0 = x2*(6a3+1) + x3*(8a4) + x4*(9a32+2a3+10a5) + ...

Daraus gewinnst du die Gleichungen:

0 = 6a3+1
0 = 8a4
0 = 9a32+2a3+10a5

a0 = 0
a1 = 1
a2 = 0
a3 = -1/6
a4 = 0
a5 = 1/120

Man sieht, dass die geraden Reihenglieder 0 sind und die ungeraden abwechselnd positiv und negativ:

±1/n!
(Begründung: 3!=6, 5!=120)

Die Reihe hat also die Gestalt:

f(x) = x1/1! - x3/3! + x5/5! - x7/7! - + ...

Das ist die Taylorreihe von sin x:

f(x) = sin x

werbungsfriedhof@hotmail.com
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Aktuar (Aktuar)
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Mitglied
Benutzername: Aktuar

Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 08-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 20:38:   Beitrag drucken

Hallo Tantor,

dein Ansatz war im Prinzip gar nicht so schlecht, er muss nur konsequent zu Ende geführt werden.

Ich würde folgendermaßen vorgehen:

f(x)^2 + f'(x)^2 = 1 => durch Ableitung:
2f(x)f'(x) = -2f'(x)f''(x).
Für f'(x) =/ 0 folgt daraus f''(x) = - f(x).

Erneute Ableitung liefert f'''(x) = -f'(x) und schließlich f''''(x) = -f''(x) = f(x).

Insgesamt ergibt sich damit
f_4k_'(0) = f(0) = 0 für alle natürliche Zahlen k (4., 8., 12., ... Ableitung)

f_4k+1_'(0) = f'(0) = 1 für alle natürlichen Zahlen k (1., 5., 9., ... Ableitung)

f_4k+2_'(0) = -f(0) = 0 für alle natürlichen Zahlen k (2., 6., 10., ... Ableitung)

f_4k+3_'(0) = -f'(0) = -1 für alle natürlichen Zahlen k (3., 7., 11., ... Ableitung)

Damit ist dann die Taylorentwicklung von f um 0 gleich

f(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9! -x^11/11! +- ...

Das ist die Taylorentwicklung der Sinusfunktion, für die ja auch gerade die Ausgangsbedingungen gelten.

Gruß

Michael
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2879
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 20:42:   Beitrag drucken

Hi Tantor,

Fange so an:
aus f '^2 = 1 - f^2 folgt durch Ableiten
2 f´f´´ = - 2 f f´
also: f ´´ = - f
Leite weiter ab.
Berechne f´(0) = 1 , f´´(0) = 0 usw
Bald erkennst Du die Funktion,insbesondere auch dann,
wenn Du den Anfang der Taylorentwicklung hinschreibst.

MfG
H.R.Moser,megamath

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