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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2877
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 07:23: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 74 sollen
wiederum orthogonale Trajektorien
ermittelt werden.
Die gegebene Schar liegt in
Polarkoordinatendarstellung vor;
es handelt sich um Kardioiden:
r = a (1 – cos phi)
r: Radiusvektor, phi: Phasenwinkel,
a ist der Parameter der Kardioidenschar.
Man ermittle die Polarkoordinatengleichung
der orthogonalen Trajektorien.
Was ist am Resultat einigermaßen verblüffend?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2878
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 20:13: |
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Hi allerseits
Nützliche Lösungshinweisezzur Aufgabe LF 74:
Logarithmiere die gegebene Gleichung der Kardioidenschar!
Leite die Gleichung sodann nach phi ab.
Führe mit einer goniometrischen Relation
den cot (½ phi) in die Gleichung ein.
In der so entstandenen Dgl der Kardioidenschar
ersetze man 1/r * dr / d(phi) durch
- r * d(phi) / dr; so entsteht eine Dgl der Schar
der gesuchten orthogonalen Trajektorien
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2881
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 09:53: |
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Hi allerseits
Lösung der Aufgabe LF 74:
Wir logarithmieren die gegebene Gleichung
der Kardioidenschar:
Es entsteht die Gleichung
ln r = ln a + ln [1-cos(phi)]
Nun leiten wir diese Gleichung nach phi ab;
Ergebnis:
1/r * dr/d(phi) = sin(phi) / [1-cos(phi)] = cot(½phi)
Dies ist die Dgl der gegebene Schar.
Daraus entsteht die Dgl der Schar der orthogonalen
Trajektorien, indem wir
1/r * dr / d(phi) durch
- r * d(phi) / dr ersetzen;
es entsteht die neue Dgl
- r * d(phi) / dr = cot(½ phi) oder
dr/r + [tan (½ phi)] d(phi = 0
Die Integration liefert:
ln r + 2 ln [cos (½ phi) / sin(½ phi)] = ln C
C ist Integrationskonstante.
Schließlich kommt
r = C * [cos(½phi)]^2 oder
r = A * (1+ cos(phi)) mit A = ½ C.
Es entsteht wiederum eine Schar Kardioiden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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