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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2873 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 09:05: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 73 und den folgenden kommt wiederum die Differentialgeometrie ebener Kurven zum Zug. Es ist die Rede von orthogonalen Trajektorien, Kurvenscharen, von denen jede einzelne Kurve die Kurven einer gegebenen Schar je senkrecht schneidet. LF 73 lautet so: Die Kurvennormale n im laufenden Punkt P einer Kurve k schneidet die x-Achse im Punkt N. F ist der Fusspunkt der Senkrechten durch P zur x-Achse auf dieser (F liegt zwischen N und dem Nullpunkt O). Es sollen diejenigen Kurven k bestimmt werden, für welche der Abstand r des Punktes P von O mit ON übereinstimmt. Teilaufgaben a) Ermittle die Differentialgleichung (Dgl) der Schar solcher Kurven k. Wie lautet die allgemeine Lösung dieser Dgl.? b) Man stelle die Dgl. der Schar der orthogonalen Trajektorien auf, und ermittle deren allgemeine Lösung. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 674 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 14:17: |
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meagamth, Angenommen, k lasse sich in der Form k : y = f(x) beschreiben. Die Normale n im variablen Kurvenpunkt P = (u,v) = (u,f(u)) lautet n : y = v - (x-u)/f'(u) Sei N = (x,0), dann ist x = u + vv' (v' := f'(u)) und es soll gelten u + vv' = ±(u2+v2)1/2 <=> (1/2)(d/du)(u2+v2) = ±(u2+v2) <=> (d/du)(u2+v2)1/2 = ±1<=> (u2+v2)1/2 = ±u + p <=> v2 = ±2pu + p2.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2874 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 19:58: |
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Hallo Orion, Hübsch,die Parabelschar mit Brennpunkt im Nullpunkt. Gut plaziert! Sinngemass ist auch die Integrationskonstante p bezeichnet, sie spielt auch noch die Rolle des Parameters. MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2875 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 20:24: |
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Hi allerseits Hinweis zur Aufgabe LF 73: Ersetzt man in der Dgl. der Parabelschar y´ durch – 1 / y´, so erhält man die Dgl. der orthogonalen Trajektorien. Es wird sich herausstellen, dass die gesuchte Schar der Trajektorien als Ganzes mit der vorhergehenden Parabelschar identisch ist. Man nennt daher diese Parabelschar selbst-orthogonal (self-orthogonal). Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2876 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 07:17: |
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Hi allerseits Skizze einer Lösung der Aufgabe LF 73 I. Aufstellen der Differentialgleichung aus den geometrischen Bedingungen: OF = x+y y´ (y y´ ist die Subnormale) OP = sqrt (x^2+y^2) = r Dgl: x + y y´= r oder x dx + y dy = r dx andrerseits folgt aus x^2 + y^2 = r^2: x dx + y dy = r dr Wir schließen: dr = dx, also dr/dx = 1, daraus durch Integration: r = x + C mit C als Integrationskonstante. r^2 = (x+ C) ^2 oder y^2 = C(2x + C) °°°°°°°°°°°°°°° Parabel mit der x-Achse als Achse Scheitel S(- ½C / 0) Brennpunkt in O, Parameter der Parabel: abs(C) Es liegt eine Schar konfokaler Parabeln mit gemeinsamen Achsen vor. II. Dgl der Schar der orthogonalen Trajektorien Ersetze in der obigen Dgl y´ durch – 1/ y´ neue Dgl nach Umformungen: x + y y´= - r oder nach der Transformation: dr/dx = -1, Integration mit A als Integrationskonst.: r = - x + A, also y^2 = - A (2x – A) °°°°°°°°°°°°°°°°° Als Ganzes entsteht dieselbe Schar konfokaler Parabeln mit der x-Achse als gemeinsame Achse. Ein frappierendes Resultat ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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