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Rosa13 (Rosa13)
Junior Mitglied Benutzername: Rosa13
Nummer des Beitrags: 9 Registriert: 02-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 10:42: |
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Hallo Kann mir jemand helfen, die nachstehende Aufgabe über unendliche Folgen zu lösen. Die Aufgabe lautet: Eine Folge (yn) ist rekursiv definiert wie folgt: y(n+1) = y(n)^2 + ¼ , n > = 1, y1 = a, wobei 0 <= a <= ½ gilt. Untersuche diese Folge auf Konvergenz, und bestimme gegebenenfalls ihren Grenzwert. Ich danke für jede Hilfe im Voraus Rosa R.
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Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 108 Registriert: 09-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 11:00: |
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Das geht folgendermaßen: Du zeigst zuerst mit Induktion, dass die Folge nach oben beschränkt ist (mit 1/2). Dann zeigst du, dass sie monoton wachsend ist. Aus beidem folgt dann, dass sie konvergent ist. Daher darfst du sowohl für yn+1, als auch für yn die Konstante A in die Rekursionsgleichung einsetzen, löst nach A auf und erhältst A = 1/2 als Grenzwert. werbungsfriedhof@hotmail.com |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2865 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 12:06: |
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Hi Rosa, Zeige zuerst, dass die Folge monoton wächst und beschränkt ist. Daraus folgt die Konvergenz. Um den Grenzwert g zu bestimmen, löse die quadratische Gleichung z = z^2 + ¼; die Doppellösung z = ½ ist gerade der gesuchte Grenzwert g. Die Gleichung bildest Du, cum grano salis, der Rekursionsbeziehung nach (genau hinsehen!). Nachweis der Monotonie mit vollständiger Induktion. Vererbung Das Ziel ist der Nachweis der Ungleichung y(n+1) – y(n) > 0 aus der Induktionsvoraussetzung y(n) – y(n-1) > 0. Nachweis: y(n+1) – y(n) = y^(n)^2 + ¼ - [ y(n-1)^2 + ¼ ] = y(n)^2 - y(n-1)^2 = [y(n) + y(n-1)] * [y(n) - y(n-1)] Die erste Klammer ist a priori positiv, die zweite ist es auch, nach Induktionsvoraussetzung. Verankerung: y(2) – y(1) = y(1)^2 + ¼ - y(1) = a^2 – a + ¼ > 0 wegen der Voraussetzung bezüglich a. Der Hauptteil des Beweises ist damit geführt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2866 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 12:12: |
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Hi Carpediem Erst post festum habe ich gesehen,dass Du das Wesentlich bereits gesagt hattest. Ich wollte mein Elaborat nicht in den Papierkorb werfen. sit venia... MfG H.R.Moser,megamath
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Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 110 Registriert: 09-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 21:52: |
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Kein Problem, Megamath. Rosa13 freut sich sicher über jede Hilfe.
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