Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Grenzwert einer Folge

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Sonstiges » Grenzwert einer Folge « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Rosa13 (Rosa13)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Junior Mitglied
Benutzername: Rosa13

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 10:42:   Beitrag drucken

Hallo

Kann mir jemand helfen, die nachstehende
Aufgabe über unendliche Folgen zu lösen.
Die Aufgabe lautet:

Eine Folge (yn) ist rekursiv definiert wie folgt:
y(n+1) = y(n)^2 + ¼ , n > = 1, y1 = a, wobei
0 <= a <= ½ gilt.
Untersuche diese Folge auf Konvergenz,
und bestimme gegebenenfalls ihren Grenzwert.

Ich danke für jede Hilfe im Voraus
Rosa R.

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Carpediem (Carpediem)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem

Nummer des Beitrags: 108
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 11:00:   Beitrag drucken

Das geht folgendermaßen:

Du zeigst zuerst mit Induktion, dass die Folge nach oben beschränkt ist (mit 1/2). Dann zeigst du, dass sie monoton wachsend ist. Aus beidem folgt dann, dass sie konvergent ist. Daher darfst du sowohl für yn+1, als auch für yn die Konstante A in die Rekursionsgleichung einsetzen, löst nach A auf und erhältst A = 1/2 als Grenzwert.

werbungsfriedhof@hotmail.com
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2865
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 12:06:   Beitrag drucken

Hi Rosa,

Zeige zuerst, dass die Folge monoton wächst und
beschränkt ist.
Daraus folgt die Konvergenz.
Um den Grenzwert g zu bestimmen,
löse die quadratische Gleichung z = z^2 + ¼;
die Doppellösung z = ½ ist gerade der
gesuchte Grenzwert g.
Die Gleichung bildest Du, cum grano salis,
der Rekursionsbeziehung nach (genau hinsehen!).

Nachweis der Monotonie mit vollständiger Induktion.

Vererbung
Das Ziel ist der Nachweis der Ungleichung
y(n+1) – y(n) > 0 aus der Induktionsvoraussetzung
y(n) – y(n-1) > 0.
Nachweis:
y(n+1) – y(n) = y^(n)^2 + ¼ - [ y(n-1)^2 + ¼ ] =
y(n)^2 - y(n-1)^2 = [y(n) + y(n-1)] * [y(n) - y(n-1)]
Die erste Klammer ist a priori positiv,
die zweite ist es auch, nach Induktionsvoraussetzung.

Verankerung:
y(2) – y(1) = y(1)^2 + ¼ - y(1) = a^2 – a + ¼ > 0
wegen der Voraussetzung bezüglich a.

Der Hauptteil des Beweises ist damit geführt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2866
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 12:12:   Beitrag drucken

Hi Carpediem

Erst post festum habe ich gesehen,dass Du das Wesentlich bereits gesagt hattest.
Ich wollte mein Elaborat nicht in den
Papierkorb werfen.
sit venia...

MfG
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Carpediem (Carpediem)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem

Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 21:52:   Beitrag drucken

Kein Problem, Megamath. Rosa13 freut sich sicher über jede Hilfe.

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page