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Beitrag |
    
Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 12:58: | 
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Hallo
Bei der folgenden Aufgabe komme ich zu keinem Erfolg
Die Aufgabe lautet::
Man beweise die Ungleichung
(n +1) / { (n!) ^ (1/n)} < e für n = 2,3….
Vielen Dank im Voraus !
Emil K.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2843
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 14:08: |
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Hi Emil,
Sei a(n) = (n +1) / { (n!) ^ (1/n)} und
b(n) = [a(n)] ^ n = (n+1) ^ n / n!
Wir bilden
b(n) / b(n-1) = 1/n (n+1) ^ n / n^ (n-1) = [1+1/n] ^ n < e,
somit
b(n) = b(n) / b(n-1) * b(n-1) / b(n-2) * ….* b(1) / b(0) < e ^ n,
also
a(n) = [ b(n) ] ^ (1/n) < e, qed.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 669
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 14:47: |
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Emil,
Vorschlag:
Sei a(n) := (n+1)n/n! = (1+1/n)n*nn/n!.
Für die Folge b(n) := nn/n! gilt b(1) = 1 und
b(n+1) = (1+1/n)n*b(n)
Daraus folgt induktiv für n >= 2 :
b(n) < en-1,
denn (1+1/n)n < e.
Also a(n) < (1+1/n)n*en-1 < en
Q.E.D.
mfG Orion
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Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 07:28: |
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Hallo
Ich danke Megamath und Orion für ihre Hilfen !
Mit freundlichen Grüßen
Emil K.
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