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Rosa13 (Rosa13)
Junior Mitglied
Benutzername: Rosa13
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 13:01: | 
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Hallo,
Ich habe hier nochmals Aufgaben über
Grenzwerte, die ich nicht selbst ermitteln kann.
Sie lauten:
Untersuche das Konvergenzverhalten, und
berechne gegebenenfalls den Grenzwert der
nachstehenden Folgen, deren allgemeines Glied
an gegeben ist:
a) an = (1 – 1/ n ^ 2) ^ n
b) an = n [ sqrt( 1 + 1/ n ) - 1 ]
c) an = (4 ^ n + 5 ^ n) ^ (1/n)
d) an = (1 – 1/ n) ^ 19 - 1
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.
Rosa R.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2829
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 14:15: |
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Hi Rosa,
Deine Fragen sind schnell beantwortet:
ad a)
a(n) = {(1 + 1/ n) ^ n} * {(1 – 1/ n) ^ n} ,
der erste Faktor strebt gegen e, der zweite gegen e^ (-1),
Das Produkt strebt somit gegen 1
ad b) f := n*((1+1/n)^(1/2)-1)
erweitere: schreibe a(n) als Bruch mit dem Nenner [sqrt(1+1/n) +1]
Der Zähler ist dann n * [1 +1/n – 1] = 1, somit
an = 1 / [sqrt(1+1/n) +1], dies strebt, wie man leicht erkennt,
gegen ½.
ad c)
Wir schreiben a(n) so:
a(n) = [5^n (1 + (4/5) ^ n] ^ 1/n = 5* [(1 + (4/5) ^ n] ^ 1/n
Der Grenzwert ist 5
ad d)
Jeder der 19 Faktoren strebt einzeln gegen 1, das Produkt ebenfalls.
Somit ist der gesuchte Grenzwert 0.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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