| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2821
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 09:37: | 
|
Hi allerseits,
In der Aufgabe LF 65 ist wiederum die Gleichung
einer Enveloppe zu ermitteln.
Die Aufgabe lautet:
Auf der x-Achse läuft der Punkt P(u/0).
Die Gerade g verbindet P mit dem festen Punkt Q(0/q)
auf der y-Achse.
Der Winkel phi ist der Richtungswinkel von g,
m = tan(phi) ihre Steigung.
Die Gerade h geht durch P und hat die Steigung
tan(½ phi), halbiert somit den Winkel phi.
Welches ist die Hüllkurve der Schar der Geraden h,
die entsteht, wenn u variiert?
Hinweis zur Lösung
Mit Vorteil verwendet man phi selbst als Parameter der
Geradenschar, so dass in der Gleichung von h ausser
x und y nur trigonometrische Funktionen von phi und
½ phi vorkommen.
Zur Ermittlung der Enveloppe (!) leitet man partiell nach
phi ab.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 661
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 11:29: |
|
Hallo megamath,
Wir haben tan j = - q/u. Setzen wir
tan j/2 =: t,
so ist
- q/u = 2t/(1-t2) ==> u = (q/2)(t-1/t).
Die Gleichung von h lautet
h : y = t(x-u) <=> y = tx-(q/2)(t2-1).
Die partielle Ableitung nach t gleich 0 gesetzt und
nach t aufgelöst ergibt t = x/q.
Die gesuchte Enveloppengleichung lautet damit
y = (1/2q)(x2-q2)
mfG Orion
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2823
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 13:20: |
|
Hallo Orion,,
Jetzt habe ich endlich die richtige Stelle gefunden,um das Folgende zu plazieren!
Deine Lösung ist sehr elegant und führt schnell
zum Ziel; sie ist gut nachvollziehbar.
Nur scheinen die Vorzeichen eine Crux für
uns Aufgabensteller und - löser zu sein!
Aus meinem Resultat
y = x^2 / (2q) + ½ q erkennt man sofort
den Typus und die Art der Enveloppe.
Es ist eine Parabel mit der y-Achse als Achse.
Der Punkt S(0 /½ q) ist der Scheitel;
der Punkt Q(0/q) ist der Brennpunkt,
q der Parameter der Parabel.
Nicht zuletzt:
die x-Achse ist die Leitgerade, Direktrix
oder directrice en français.
Das vorliegende Resultat könnte man auch mit
geometrischen Eigenschaften der Parabel direkt
herleiten, auf analoge Weise, wie ich es in der
Aufgabe LF 64 vorschlage.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 662
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 14:07: |
|
Ja, natürlich
y = (1/2q)(x2 + q2) !
mfG Orion
|
|
