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Thuriferar783 (Thuriferar783)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Thuriferar783
Nummer des Beitrags: 199
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 14:54: | 
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Hallo!
Ich habe hier ein bestimmtes Integral zu berechnen:
Int [(1-x²)^(1/2)]dx in den Grenzen von 0 bis 1.
Ich weiß, dass man x substituiert durch sin y... Aber wie geht es dann genau weiter auf dem Weg zur Stammfunktion?
Wäre lieb, wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Grüße,
Oliver. |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Junior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 15:25: |
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Hi Thuriferar783,
du substituierst tatsächlich zunächst mal mit x = sin y, dx = cos y dy:
ò0 1(1-x²)^(1/2)dx = ò0 pi/2(1-sin²y)^1/2*cos y dy = ò0 pi/2(cos²y)^1/2*cos y dy = ò0 pi/2 cos²y dy
Die weitere Rechnung kennst du möglicherweise bereits. (Ich gebe hier das unbestimmte Integral an.)
òcos²y dy = cos y sin y + òsin²y dy
(Partielle Integration)
Jetzt sin²y durch 1-cos² y ersetzen:
òcos²y dy = cos y sin y + ò(1-cos² y) dy
Nun das letzte Integral über die Summenregel zerlegen:
òcos²y dy = cos y sin y + ò1dy - òcos²y dy
Schließlich zur gesamten Gleichung òcos²y dy addieren:
2*òcos²y dy = cos y sin y + ò1dy + C
Und durch 2 dividieren:
òcos²y dy = 1/2 * cos y sin y + y/2 + C'.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 83
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 15:28: |
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x = sin y
dx/dy = cos y
dx = cos y * dy
untere Grenze:
x = sin y = 0
y = 0
obere Grenze:
x = sin y = 1
y = p/2
ò0 p/2 (1-sin2y)1/2 * cos y * dy =
= ò0 p/2 (cos2y)1/2 * cos y * dy =
= ò0 p/2 cos2y dy =
= ò0 p/2 [(1 + cos2y) / 2] dy =
= (1/2)(y + (sin2y)/2) an den Grenzen 0 bis p/2 =
= (1/2)(p/2 + 0/2) - 0 =
= p/4
verwendet wurden die Formeln:
1 - sin2y = cos2y
cos2y = (1 + cos y) / 2
ò cos(k*y) dy = sin(k*y) / k
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