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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2779
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 12:53: | 
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Hi allerseits,
Die Aufgabe Lockere Folge LF 57 verlangt einen Beweis
einer Ungleichungskette:
Man beweise für natürliche Zahlen n >1:
[1 – 1 /(n+1)^2]^n > [1– 1/(n^2+2n)]^n > 1 – 1/(n+2)
Hinweis
Bei der zweiten Ungleichung: Anwendung der
Bernoulli-Ungleichung
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Captain_sparrow (Captain_sparrow)
Neues Mitglied
Benutzername: Captain_sparrow
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 11:38: |
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Erstmal lösen wir die erste Ungleichung
(1-1/(n+1)^2)^n > (1-1/(n^2+2n))^n
(1-1/(n+1)^2)^n = (1-1/(n^2+2n+1))^n > (trivial, begründung siehe nächste Zeile) (1-1/(n^2+2n))^n
da n^2+2n+1 > n^2+2n
=> 1/(n^2+2n+1) < 1/(n^2+2n)
=> -1/(n^2+2n+1) > -1/(n^2+2n)
mit (1+a)^n > (1+b)^n für a>b und n>1 folgt dann
(1-1/(n+1)^2)^n > (1-1/(n^2+2n))^n
Ich hoffe das war einigermaßen verständlich, es ist schwierig sowas hier aufzuschreiben
die 2. Ungleichung
[1– 1/(n^2+2n)]^n > 1 – 1/(n+2)
[1– 1/(n^2+2n)]^n > 1+n*(-1/(n^2+2n)) da –1/(n^2+2n) > -1 und somit Bernoulli gilt.
1+n*(-1/(n^2+2n)) = 1-(n/(n*n+2n))= 1- 1/(n+2) (da n!=0 können wir kürzen.
Also [1– 1/(n^2+2n)]^n > 1-1/(n+2).
Damit wäre auch die 2. Ungleichung fertig und somit die Ungleichungskette.
Jack Sparrow |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2783
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 11:49: |
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Hi Jack,
Deine Lösung ist richtig und mir durchaus verständlich; besten Dank!
MfG
H.R.Moser,megamath
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